可测函数序列的等度可测性 等度可测性是可测函数理论中描述函数族整体可测性质一致性的重要概念。让我为您详细解释这个概念。 1. 基本定义 等度可测性描述的是一个函数族中所有函数在可测性方面具有某种一致性。具体来说，设(X,𝓕)是一个可测空间，{f_ i} {i∈I}是一族从X到ℝ的可测函数。如果存在一个零测集N⊂X（即μ(N)=0），使得对任意α∈ℝ，集合族{{x∈X\N: f_ i(x)>α}} {i∈I}在X\N上具有一致的可测结构，则称该函数族是等度可测的。 2. 技术性表述 更精确地说，函数族{f_ i}称为等度可测的，如果存在零测集N，使得对每个实数α，所有水平集{f_ i>α}在X\N上的截断都具有"一致"的边界行为。这意味着函数族中各个函数的"不规则性"被限制在一个公共的零测集上，而在此之外，它们表现出协调一致的可测性特征。 3. 与等度连续性的对比 等度可测性与等度连续性形成有趣的对比：等度连续性关注函数值变化的均匀控制，而等度可测性关注的是水平集结构的均匀性。前者是拓扑性质，后者是测度论性质。 4. 等价刻画 等度可测性有几个等价的刻画方式： 存在公共的零测集，使得函数族在此集外的限制构成一个相对离散的可测函数族 函数族的"本质图"（essential graphs）具有一致的结构 对任意Borel集B⊂ℝ，原像族{f_ i^{-1}(B)}在去掉一个零测集后具有一致的可测边界 5. 在极限定理中的应用 等度可测性在处理函数序列极限问题时特别有用。当一个等度可测函数列收敛时，极限函数的可测性往往可以自动得到保证，因为不规则性被限制在统一的零测集内。这为研究各种收敛模式（几乎处处收敛、依测度收敛等）提供了便利。 6. 与紧性的关系 在适当的拓扑假设下，等度可测性与某种紧性概念相关。具体来说，在Polish空间上，一个一致有界的可测函数族是等度可测的当且仅当它在适当的弱拓扑下是相对紧致的。 等度可测性概念虽然技术性较强，但在现代测度论和随机过程理论中有着重要应用，特别是在研究随机过程的样本路径性质和函数极限行为时。