勒贝格可测函数的等度连续性 基本概念回顾 首先需要明确三个基本概念：可测函数、几乎处处收敛和等度连续性。可测函数是定义在测度空间上的函数，其原像将可测集映射回可测集。几乎处处收敛指函数序列在除去一个零测集外的所有点上收敛。等度连续性则是一个描述函数族整体“连续程度”一致性的概念。 等度连续性的精确定义 设 \( (X, d) \) 是一个度量空间，\( \mathcal{F} \) 是定义在 \( X \) 上的一族实值函数。如果对任意 \( \epsilon > 0 \)，存在 \( \delta > 0 \)，使得对所有 \( f \in \mathcal{F} \) 和所有满足 \( d(x, y) < \delta \) 的 \( x, y \in X \)，都有 \( |f(x) - f(y)| < \epsilon \)，则称函数族 \( \mathcal{F} \) 是等度连续的。这意味着族中所有函数具有“一致”的连续模。 勒贝格可测函数与等度连续性的联系 在实变函数论中，一个核心问题是：一个勒贝格可测函数序列在满足何种条件下，其收敛性（如几乎处处收敛）能保证某种“好”的极限行为？等度连续性在其中扮演关键角色。例如，阿尔泽拉-阿斯科利定理指出，在紧度量空间上，一个等度连续且一致有界的函数列必存在一致收敛的子列。这表明等度连续性是保证某种“紧性”的重要条件。 卢津定理的启示与等度连续逼近 卢津定理指出，定义在 \( \mathbb{R}^n \) 可测集 \( E \) 上的任何勒贝格可测函数 \( f \)，在去掉一个测度任意小的子集后，限制在余集上是一个连续函数。这启发我们思考：对于一个可测函数序列，能否通过类似的思想，找到一个“大”的集合，使得序列在此集合上不仅是逐点收敛的，甚至是等度连续的？这种性质被称为“几乎等度连续性”。 叶戈罗夫定理的深化：几乎等度连续性 叶戈罗夫定理表明，在一个有限测度集上，几乎处处收敛的可测函数序列是几乎一致收敛的。几乎一致收敛是一个比处处收敛更强的收敛形式。一个重要而深刻的结论是：在有限测度集上，一个几乎处处收敛的可测函数序列，如果其极限函数是连续的，那么该序列在某个测度任意接近全测度的紧子集上甚至是等度连续的。这建立了可测函数序列的收敛性与等度连续性在“几乎处处”意义下的深刻联系。 理论意义与应用 勒贝格可测函数的等度连续性概念是连接点态收敛与一致收敛的桥梁。它在处理函数序列的极限过程、积分与极限交换等问题中非常有用。例如，在证明某些函数空间是紧的，或者研究偏微分方程解的紧性时，经常需要验证函数族的等度连续性（或其某种推广形式，如等度可积性）。它体现了实变函数论中“整体”控制“局部”行为的思想。