随机规划中的分布鲁棒优化与矩不确定性 我们先从随机规划的基本形式出发。考虑一个包含随机参数ξ的优化问题： min_ x { E[ F(x,ξ) ] : G(x,ξ) ≤ 0 }。 在实际中，随机参数ξ的真实概率分布P* 通常是未知的，我们可能只有有限的样本数据或部分矩信息（如均值、方差）。 1. 传统随机规划的局限性 传统随机规划通常假设分布P* 已知或可通过样本精确估计。但当： 样本量有限时，经验分布可能严重偏离真实分布 存在分布模糊性时，基于单一假设分布的解可能非常脆弱 这种局限性催生了分布鲁棒优化（DRO）框架。 2. 分布鲁棒优化的核心思想 DRO寻求一个解x，使得在最坏情况的概率分布下，期望成本最小： min_ x sup_ {P∈𝒫} E_ P[ F(x,ξ) ] s.t. P(G(x,ξ)≤0)=1, ∀P∈𝒫 其中𝒫是一个模糊集（ambiguity set），包含所有可能真实的分布P。 3. 矩不确定性模糊集的构建 一种常见方法是使用矩信息定义模糊集： 𝒫 = { P : E_ P[ ξ] = μ, E_ P[ (ξ-μ)(ξ-μ)^T ] ⪯ Σ } 这表示分布的一阶矩为μ，二阶矩受矩阵Σ约束。更一般的矩约束可包含高阶矩信息。 4. 理论保证与保守性 模糊集𝒫的大小直接影响解的保守性： 若𝒫过大，解会过于保守（鲁棒但可能悲观） 若𝒫过小，可能无法覆盖真实分布 因此需要基于可用数据合理校准模糊集的大小。 5. 与鲁棒优化的区别 关键区别在于不确定性建模层面： 鲁棒优化：参数在不确定集U内变化 分布鲁棒优化：概率分布在模糊集𝒫内变化 后者利用了分布信息，通常能得到 less conservative 的解。 6. 实际应用中的考虑 在实际应用中，需要权衡： 数据量多少决定模糊集大小 计算复杂度（矩不确定DRO通常可转化为半定规划） 对极端事件的防护程度 这种框架在金融风险管理、能源系统规划等领域有重要应用。