量子力学中的WKB近似
- 经典力学的回顾：作用量与哈密顿-雅可比方程
WKB近似（Wentzel-Kramers-Brillouin近似）的核心思想是将量子系统与对应的经典系统联系起来。在经典力学中，一个粒子的运动由哈密顿量 \(H(\mathbf{x}, \mathbf{p})\) 描述，其中 \(\mathbf{x}\) 是位置，\(\mathbf{p}\) 是动量。哈密顿-雅可比方程是经典力学的另一种表述形式：
\[ H\left(\mathbf{x}, \frac{\partial S}{\partial \mathbf{x}}\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \]
这里 \(S(\mathbf{x}, t)\) 称为作用量函数，其梯度给出动量：\(\mathbf{p} = \nabla S\)。在能量守恒的情况下（\(H = E\)），方程简化为：
\[ H\left(\mathbf{x}, \nabla S(\mathbf{x})\right) = E \]
其中 \(S(\mathbf{x})\) 是约化作用量（与时间无关）。例如，对于一维势场 \(V(x)\)，方程变为：
\[ \frac{1}{2m} \left( \frac{dS}{dx} \right)^2 + V(x) = E \]
解为 \(S(x) = \pm \int \sqrt{2m(E - V(x))} \, dx\)。这一经典框架为量子近似提供了基础。
- 从薛定谔方程到WKBansatz
考虑一维定态薛定谔方程：
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x) \psi = E \psi \]
WKB方法假设波函数具有指数形式，但指数部分与 \(\hbar\) 相关。引入ansatz（试探解）：
\[ \psi(x) = \exp\left( \frac{i}{\hbar} \sigma(x) \right) \]
其中 \(\sigma(x)\) 是一个待定函数。将ansatz代入薛定谔方程，先计算导数：
\[ \frac{d\psi}{dx} = \frac{i}{\hbar} \frac{d\sigma}{dx} \psi, \quad \frac{d^2\psi}{dx^2} = \left[ -\frac{1}{\hbar^2} \left( \frac{d\sigma}{dx} \right)^2 + \frac{i}{\hbar} \frac{d^2\sigma}{dx^2} \right] \psi \]
代入后得：
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \left[ -\frac{1}{\hbar^2} \left( \frac{d\sigma}{dx} \right)^2 + \frac{i}{\hbar} \frac{d^2\sigma}{dx^2} \right] + V(x) = E \]
整理为：
\[ \frac{1}{2m} \left( \frac{d\sigma}{dx} \right)^2 - \frac{i\hbar}{2m} \frac{d^2\sigma}{dx^2} + V(x) = E \]
- 按\(\hbar\)的幂次展开与经典极限
将函数 \(\sigma(x)\) 按\(\hbar\)的幂次展开（半经典展开）：
\[ \sigma(x) = \sigma_0(x) + \frac{\hbar}{i} \sigma_1(x) + \left( \frac{\hbar}{i} \right)^2 \sigma_2(x) + \cdots \]
代入方程并按\(\hbar\)的幂次整理：
- \(\hbar^0\) 阶项：
\[ \frac{1}{2m} \left( \frac{d\sigma_0}{dx} \right)^2 + V(x) = E \]
这与经典哈密顿-雅可比方程一致，解为：
\[ \frac{d\sigma_0}{dx} = \pm p(x), \quad \text{其中} \quad p(x) = \sqrt{2m(E - V(x))} \]
积分得 \(\sigma_0(x) = \pm \int p(x) \, dx\)。
- \(\hbar^1\) 阶项：
\[ \frac{1}{m} \frac{d\sigma_0}{dx} \frac{d\sigma_1}{dx} - \frac{1}{2m} \frac{d^2\sigma_0}{dx^2} = 0 \]
利用 \(\frac{d\sigma_0}{dx} = p(x)\)，化简为：
\[ \frac{d\sigma_1}{dx} = -\frac{1}{2} \frac{d}{dx} \ln p(x) \]
积分得 \(\sigma_1(x) = -\frac{1}{2} \ln p(x) + \text{常数}\)。
- WKB波函数的构造与连接公式
保留到\(\hbar^1\)阶，波函数为：
\[ \psi(x) \approx \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \sigma_0(x) + \sigma_1(x) \right] = \frac{1}{\sqrt{p(x)}} \exp\left( \pm \frac{i}{\hbar} \int p(x) \, dx \right) \]
在经典允许区（\(E > V(x)\)，即 \(p(x)\) 为实数），波函数是振荡形式：
\[ \psi(x) \sim \frac{1}{\sqrt{p(x)}} \cos\left( \frac{1}{\hbar} \int p(x) \, dx + \phi \right) \]
在经典禁戒区（\(E < V(x)\)，即 \(p(x)\) 为虚数），令 \(p(x) = i|p(x)|\)，波函数指数衰减或增长：
\[ \psi(x) \sim \frac{1}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left( \mp \frac{1}{\hbar} \int |p(x)| \, dx \right) \]
在转折点（\(E = V(x)\)，即 \(p(x)=0\)），WKB解发散（分母为零），需单独处理。通过渐近匹配，得到连接公式：
- 从允许区（左）到禁戒区（右）的连接：
\[ \frac{2}{\sqrt{p(x)}} \cos\left( \frac{1}{\hbar} \int_x^{x_0} p(x) \, dx - \frac{\pi}{4} \right) \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left( -\frac{1}{\hbar} \int_{x_0}^x |p(x)| \, dx \right) \]
其中 \(x_0\) 是转折点。
- 量子化条件与应用示例
对于束缚态（如势阱），波函数在禁区指数衰减的要求导致量子化条件。例如，一维势阱中，波函数在两端转折点 \(x=a, b\)（\(E=V(a)=V(b)\)）处需满足：
\[ \frac{1}{\hbar} \int_a^b p(x) \, dx = \left( n + \frac{1}{2} \right) \pi, \quad n=0,1,2,\dots \]
这正是Bohr-Sommerfeld量子化条件的精确形式（含半整数修正）。以谐振子 \(V(x) = \frac{1}{2} m\omega^2 x^2\) 为例，转折点在 \(x=\pm a\)（\(a=\sqrt{2E/m\omega^2}\)），积分：
\[ \int_{-a}^a \sqrt{2mE - m^2\omega^2 x^2} \, dx = \frac{\pi E}{\omega} \]
量子化条件给出 \(E = \hbar\omega (n + 1/2)\)，与精确解一致。
- 多维推广与局限性
在高维情况下，WKB方法涉及拉格朗日子流形和Maslov指标，波函数形式为：
\[ \psi(\mathbf{x}) \sim \sum_k A_k(\mathbf{x}) \exp\left( \frac{i}{\hbar} S_k(\mathbf{x}) \right) \]
其中 \(S_k\) 是经典作用量，求和遍及连接点的经典路径。WKB近似的有效性要求 \(\lambda_{\text{dB}} = \hbar/|p|\) 远小于势场变化尺度，即 \(\hbar \left| \frac{dV/dx}{p} \right| \ll |p|\)。在转折点附近或势场剧烈变化时失效，需改用均匀近似或数值方法。