勒贝格-斯蒂尔杰斯外测度 我将为您系统讲解勒贝格-斯蒂尔杰斯外测度，这是构建勒贝格-斯蒂尔杰斯测度理论的基础概念。 动机与背景 在实分析中，我们希望为实数轴R的更多子集赋予一个“长度”或“度量”。经典的勒贝格测度源于普通的长度概念。勒贝格-斯蒂尔杰斯测度是这一思想的推广，它允许我们通过一个单调递增的右连续函数g: R → R来定义一种新的“度量”，该函数g称为生成函数。当g(x) = x时，我们就回到了标准的勒贝格测度。外测度是构造测度的第一步，它为每个点集（无论多复杂）都赋予一个非负的、扩展的实数值，作为其“大小”的初步估计。 定义 设g: R → R是一个单调递增的右连续函数。对于任意一个区间I（可以是开、闭、半开半闭），定义其g-长度为： μ_ g(I) = g(b) - g(a) 其中a和b分别是区间的左、右端点（若区间无界，则允许值为+∞）。 现在，对于实数集的任意子集E ⊆ R，我们定义E的勒贝格-斯蒂尔杰斯外测度（由g生成）为： μ* g(E) = inf { Σ {k=1}^∞ μ_ g(I_ k) } 其中下确界取遍所有满足E ⊆ ∪_ {k=1}^∞ I_ k的可数个开区间I_ k构成的覆盖。这个定义的核心思想是：用一列开区间去覆盖集合E，并计算这些区间g-长度之和的下确界（即最大下界），以此作为E的“广义体积”的近似。 基本性质 勒贝格-斯蒂尔杰斯外测度具有以下基本性质： a. 非负性 ： 对任意E ⊆ R，有 μ*_ g(E) ≥ 0。 b. 单调性 ： 如果E ⊆ F，则 μ*_ g(E) ≤ μ* g(F)。集合越大，其外测度不会变小。 c. 空集为零 ： μ* g(∅) = 0。 d. 次可数可加性 ： 对任意一列集合{E_ k} {k=1}^∞，有 μ* g(∪ {k=1}^∞ E_ k) ≤ Σ {k=1}^∞ μ*_ g(E_ k)。这是外测度的一个关键性质，它表明整个并集的外测度不会超过各部分外测度之和。 与区间长度的相容性 一个至关重要的性质是，勒贝格-斯蒂尔杰斯外测度是区间g-长度的推广。对于任何区间I，有 μ*_ g(I) = μ_ g(I)。例如，对于一个开区间(a, b)，我们可以用单个区间(a-ε, b+ε)去覆盖它，当ε→0时，其g-长度趋于g(b)-g(a)。同时，任何覆盖(a, b)的开区间族的g-长度之和都不可能小于g(b)-g(a)。因此，外测度恰好等于区间本身的长度。 外测度的局限与可测集的引入 外测度虽然定义在所有子集上，但它不具备可数可加性（即对于两两不交的集合列，外测度之和等于并集的外测度这一理想性质）。事实上，存在一些病态集合，使得如果要求外测度具有可数可加性，就会产生矛盾（如维塔利集的存在）。为了解决这个问题，我们引入 Carathéodory条件 来从所有子集中挑选出“表现良好”的子集，称为 μ*_ g-可测集 。一个集合E被称为是可测的，如果对于任意测试集A ⊆ R，都满足： μ*_ g(A) = μ*_ g(A ∩ E) + μ*_ g(A \ E) 可以证明，所有可测集构成一个σ-代数，并且限制在这个σ-代数上的外测度μ*_ g就是一个完备的测度，这就是 勒贝格-斯蒂尔杰斯测度 。 总结来说，勒贝格-斯蒂尔杰斯外测度是使用生成函数g，通过区间覆盖的方式为所有点集赋予一个初步“大小”的工具。它是构建更精细的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度理论的基石。