复变函数的Möbius变换
字数 3244 2025-11-05 23:46:51

复变函数的Möbius变换

我们先从最基础的概念开始。Möbius变换，又称分式线性变换，是复变函数中一类形式简单但性质极为丰富的变换。它的标准定义如下：

一个Möbius变换是一个从扩充复平面（即复平面加上无穷远点 \(\infty\)）到其自身的函数，其形式为：

\[f(z) = \frac{az + b}{cz + d} \]

其中 \(a, b, c, d\) 是复数，并且满足条件 \(ad - bc \neq 0\)。这个条件至关重要，它确保了函数不会退化为一个常数（若 \(ad - bc = 0\)，则分子和分母成比例，函数值恒为常数 \(a/c\)）。

第一步：基本性质与定义域的扩充

  1. 可逆性：每个Möbius变换都是可逆的。给定变换 \(f(z) = \frac{az + b}{cz + d}\)，其逆变换为：

\[ f^{-1}(w) = \frac{dw - b}{-cw + a} \]

你可以通过验证 \(f(f^{-1}(w)) = w\) 和 \(f^{-1}(f(z)) = z\) 来确认这一点。逆变换的存在性意味着Möbius变换的集合在复合运算下构成一个群，称为Möbius变换群。

  1. 处理无穷远点：为了使变换在扩充复平面上定义良好，我们需要约定：
  • 如果 \(c = 0\)，则 \(f(\infty) = \infty\)。
  • 如果 \(c \neq 0\)，则 \(f(\infty) = a/c\)，并且 \(f(-d/c) = \infty\)。
    这样，Möbius变换就成为了扩充复平面 \(\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}\) 上的一个一一对应（双射）。

第二步：基本变换的复合

任何一个Möbius变换都可以分解为三种更简单的几何变换的复合。理解这种分解有助于我们直观地把握Möbius变换的几何效果。

  1. 平移 (Translation)：\(T(z) = z + \beta\)。这将整个复平面沿向量 \(\beta\) 移动。
  2. 旋转与伸缩 (Rotation and Dilation)：\(R(z) = \alpha z\)，其中 \(\alpha = re^{i\theta}\)。这表示以原点为中心，旋转角度 \(\theta\)，并伸缩 \(r\) 倍。
  3. 反演 (Inversion)：\(I(z) = 1/z\)。这是最关键也最有趣的变换。它的几何效果是：
  • 将单位圆内部（\(|z| < 1\)）映射到外部（\(|w| > 1\)），反之亦然。
  • 将点 \(z\) 映射到关于单位圆的对称点 \(1/\overline{z}\) 的共轭（在更一般的背景下，它实现的是关于圆的对称）。
  • 保持单位圆周（\(|z| = 1\)）上的点不变（在模长为1的意义上）。

一个Möbius变换 \(f(z) = \frac{az + b}{cz + d}\) （设 \(c \neq 0\)）可以分解为：

\[f(z) = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c(cz + d)} = T_2 \circ I \circ T_1 \circ R(z) \]

其中 \(R(z) = (bc-ad)/c^2 \cdot z\)， \(T_1(z) = z + d/c\)， \(I(z) = 1/z\)， \(T_2(z) = z + a/c\)。这种分解表明，任何Möbius变换的几何动作都可以理解为先做一个旋转伸缩，再平移，然后反演，最后再平移。

第三步：重要的几何性质——保角性与保圆性

这是Möbius变换的核心性质。

  1. 保角性 (Conformality)：在导数不为零的点，Möbius变换是保角映射。这意味着它局部地保持两条曲线之间的夹角大小和方向。由于 \(f'(z) = \frac{ad - bc}{(cz + d)^2}\)，且 \(ad - bc \neq 0\)，所以对于所有 \(z \neq -d/c\)， \(f'(z)\) 存在且不为零。在 \(z = \infty\) 和 \(z = -d/c\) 处，可以通过考察变换后的角度来证明保角性同样成立。因此，Möbius变换是整个扩充复平面上的保角映射。

  2. 保圆性 (Circle-Preserving Property)：这是Möbius变换最引人注目的性质之一：它将扩充复平面上的“圆周”映射为“圆周”。这里的“圆周”需要广义理解：

  • 在有限复平面 \(\mathbb{C}\) 中，就是普通的圆。
  • 在扩充复平面 \(\hat{\mathbb{C}}\) 中，直线被视为半径为无穷大的圆（因为它经过无穷远点）。
    所以，Möbius变换总能把一个圆（或直线）变成另一个圆（或直线）。

证明思路：一个圆或直线的方程可以写成广义形式 \(A|z|^2 + Bz + \overline{B}\overline{z} + C = 0\)，其中 \(A, C\) 为实数。当 \(A=0\) 时，它表示一条直线；当 \(A \neq 0\) 时，它表示一个圆。通过代入 \(w = f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\) 并求解 \(z\)，再代入原方程，经过化简总能得到关于 \(w\) 的类似形式的方程，即另一个圆或直线。

第四步：确定变换的唯一点对应

一个非常实用的问题是：给定三个互不相同的点 \(z_1, z_2, z_3\) 和它们对应的像点 \(w_1, w_2, w_3\)，是否存在唯一的Möbius变换 \(f\) 使得 \(f(z_k) = w_k\) for \(k=1,2,3\)？答案是肯定的。

这个唯一的变换可以由交比 (Cross-Ratio) 公式给出：

\[\frac{(w - w_1)(w_2 - w_3)}{(w - w_3)(w_2 - w_1)} = \frac{(z - z_1)(z_2 - z_3)}{(z - z_3)(z_2 - z_1)} \]

解出 \(w\) 关于 \(z\) 的表达式，就得到了所需的Möbius变换。交比本身 \((z, z_1, z_2, z_3) = \frac{(z - z_1)(z_2 - z_3)}{(z - z_3)(z_2 - z_1)}\) 是一个关于 \(z\) 的Möbius变换，它将 \(z_1, z_2, z_3\) 分别映射到 \(0, 1, \infty\)。交比在Möbius变换下保持不变，这是一个非常重要的性质。

第五步：应用与推广

  1. 将上半平面映射到单位圆盘：一个重要的应用是找到一个Möbius变换，将上半平面 \(\text{Im}(z) > 0\) 共形映射到单位圆盘 \(|w| < 1\)。例如，变换

\[ w = e^{i\theta} \frac{z - \lambda}{z - \overline{\lambda}}, \quad \text{Im}(\lambda) > 0 \]

就实现了这一映射。它将实轴（广义圆）映射到单位圆周，并将上半平面的一点 \(\lambda\) 映射到圆心 \(0\)。

  1. 与非欧几何的联系：Möbius变换在单位圆盘 \(|z| < 1\) 上诱导了一个非欧几里得几何（庞加莱圆盘模型）。在这个模型中，“直线”是与单位圆周垂直的圆弧（或直径），而Möbius变换（将单位圆盘映射到自身的那些）正是这个非欧几何中的“等距变换”。

总结来说，Möbius变换是复分析中连接几何、代数与拓扑的桥梁。它简单的代数形式背后，蕴含着深刻的几何内涵，是研究共形映射、几何函数论以及非欧几何的基础工具。

复变函数的Möbius变换 我们先从最基础的概念开始。Möbius变换，又称分式线性变换，是复变函数中一类形式简单但性质极为丰富的变换。它的标准定义如下： 一个Möbius变换是一个从扩充复平面（即复平面加上无穷远点 \(\infty\)）到其自身的函数，其形式为： \[ f(z) = \frac{az + b}{cz + d} \] 其中 \(a, b, c, d\) 是复数，并且满足条件 \(ad - bc \neq 0\)。这个条件至关重要，它确保了函数不会退化为一个常数（若 \(ad - bc = 0\)，则分子和分母成比例，函数值恒为常数 \(a/c\)）。 第一步：基本性质与定义域的扩充 可逆性 ：每个Möbius变换都是可逆的。给定变换 \(f(z) = \frac{az + b}{cz + d}\)，其逆变换为： \[ f^{-1}(w) = \frac{dw - b}{-cw + a} \] 你可以通过验证 \(f(f^{-1}(w)) = w\) 和 \(f^{-1}(f(z)) = z\) 来确认这一点。逆变换的存在性意味着Möbius变换的集合在复合运算下构成一个群，称为Möbius变换群。 处理无穷远点 ：为了使变换在扩充复平面上定义良好，我们需要约定： 如果 \(c = 0\)，则 \(f(\infty) = \infty\)。 如果 \(c \neq 0\)，则 \(f(\infty) = a/c\)，并且 \(f(-d/c) = \infty\)。 这样，Möbius变换就成为了扩充复平面 \(\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}\) 上的一个一一对应（双射）。 第二步：基本变换的复合 任何一个Möbius变换都可以分解为三种更简单的几何变换的复合。理解这种分解有助于我们直观地把握Möbius变换的几何效果。 平移 (Translation) ：\(T(z) = z + \beta\)。这将整个复平面沿向量 \(\beta\) 移动。 旋转与伸缩 (Rotation and Dilation) ：\(R(z) = \alpha z\)，其中 \(\alpha = re^{i\theta}\)。这表示以原点为中心，旋转角度 \(\theta\)，并伸缩 \(r\) 倍。 反演 (Inversion) ：\(I(z) = 1/z\)。这是最关键也最有趣的变换。它的几何效果是： 将单位圆内部（\(|z| < 1\)）映射到外部（\(|w| > 1\)），反之亦然。 将点 \(z\) 映射到关于单位圆的对称点 \(1/\overline{z}\) 的共轭（在更一般的背景下，它实现的是关于圆的对称）。 保持单位圆周（\(|z| = 1\)）上的点不变（在模长为1的意义上）。 一个Möbius变换 \(f(z) = \frac{az + b}{cz + d}\) （设 \(c \neq 0\)）可以分解为： \[ f(z) = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c(cz + d)} = T_ 2 \circ I \circ T_ 1 \circ R(z) \] 其中 \(R(z) = (bc-ad)/c^2 \cdot z\)， \(T_ 1(z) = z + d/c\)， \(I(z) = 1/z\)， \(T_ 2(z) = z + a/c\)。这种分解表明，任何Möbius变换的几何动作都可以理解为先做一个旋转伸缩，再平移，然后反演，最后再平移。 第三步：重要的几何性质——保角性与保圆性 这是Möbius变换的核心性质。 保角性 (Conformality) ：在导数不为零的点，Möbius变换是保角映射。这意味着它局部地保持两条曲线之间的夹角大小和方向。由于 \(f'(z) = \frac{ad - bc}{(cz + d)^2}\)，且 \(ad - bc \neq 0\)，所以对于所有 \(z \neq -d/c\)， \(f'(z)\) 存在且不为零。在 \(z = \infty\) 和 \(z = -d/c\) 处，可以通过考察变换后的角度来证明保角性同样成立。因此，Möbius变换是整个扩充复平面上的保角映射。 保圆性 (Circle-Preserving Property) ：这是Möbius变换最引人注目的性质之一： 它将扩充复平面上的“圆周”映射为“圆周” 。这里的“圆周”需要广义理解： 在有限复平面 \(\mathbb{C}\) 中，就是普通的圆。 在扩充复平面 \(\hat{\mathbb{C}}\) 中，直线被视为半径为无穷大的圆（因为它经过无穷远点）。 所以，Möbius变换总能把一个圆（或直线）变成另一个圆（或直线）。 证明思路 ：一个圆或直线的方程可以写成广义形式 \(A|z|^2 + Bz + \overline{B}\overline{z} + C = 0\)，其中 \(A, C\) 为实数。当 \(A=0\) 时，它表示一条直线；当 \(A \neq 0\) 时，它表示一个圆。通过代入 \(w = f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\) 并求解 \(z\)，再代入原方程，经过化简总能得到关于 \(w\) 的类似形式的方程，即另一个圆或直线。 第四步：确定变换的唯一点对应 一个非常实用的问题是：给定三个互不相同的点 \(z_ 1, z_ 2, z_ 3\) 和它们对应的像点 \(w_ 1, w_ 2, w_ 3\)，是否存在唯一的Möbius变换 \(f\) 使得 \(f(z_ k) = w_ k\) for \(k=1,2,3\)？答案是肯定的。 这个唯一的变换可以由 交比 (Cross-Ratio) 公式给出： \[ \frac{(w - w_ 1)(w_ 2 - w_ 3)}{(w - w_ 3)(w_ 2 - w_ 1)} = \frac{(z - z_ 1)(z_ 2 - z_ 3)}{(z - z_ 3)(z_ 2 - z_ 1)} \] 解出 \(w\) 关于 \(z\) 的表达式，就得到了所需的Möbius变换。交比本身 \((z, z_ 1, z_ 2, z_ 3) = \frac{(z - z_ 1)(z_ 2 - z_ 3)}{(z - z_ 3)(z_ 2 - z_ 1)}\) 是一个关于 \(z\) 的Möbius变换，它将 \(z_ 1, z_ 2, z_ 3\) 分别映射到 \(0, 1, \infty\)。交比在Möbius变换下保持不变，这是一个非常重要的性质。 第五步：应用与推广 将上半平面映射到单位圆盘 ：一个重要的应用是找到一个Möbius变换，将上半平面 \(\text{Im}(z) > 0\) 共形映射到单位圆盘 \(|w| < 1\)。例如，变换 \[ w = e^{i\theta} \frac{z - \lambda}{z - \overline{\lambda}}, \quad \text{Im}(\lambda) > 0 \] 就实现了这一映射。它将实轴（广义圆）映射到单位圆周，并将上半平面的一点 \(\lambda\) 映射到圆心 \(0\)。 与非欧几何的联系 ：Möbius变换在单位圆盘 \(|z| < 1\) 上诱导了一个非欧几里得几何（庞加莱圆盘模型）。在这个模型中，“直线”是与单位圆周垂直的圆弧（或直径），而Möbius变换（将单位圆盘映射到自身的那些）正是这个非欧几何中的“等距变换”。 总结来说，Möbius变换是复分析中连接几何、代数与拓扑的桥梁。它简单的代数形式背后，蕴含着深刻的几何内涵，是研究共形映射、几何函数论以及非欧几何的基础工具。