紧算子 我们先从线性算子的基本概念开始。一个线性算子 \( T: X \to Y \) 是紧的，如果它将 \( X \) 中的每个有界集映射成 \( Y \) 中的相对紧集（即闭包是紧的集合）。 第一步：理解“相对紧集” 在度量空间（如赋范空间）中，一个集合是相对紧的，当且仅当它的任何序列都有一个收敛的子序列（即序列紧）。因此，紧算子 \( T \) 的作用是：对于 \( X \) 中任意有界序列 \( \{x_ n\} \)，序列 \( \{T x_ n\} \) 在 \( Y \) 中一定存在一个收敛的子序列。 第二步：紧算子的例子与性质 有限秩算子（值域是有限维的）是紧的，因为有限维空间中的有界闭集是紧的。 紧算子的集合 \( K(X, Y) \) 是线性空间。更重要的是，如果 \( T_ n \) 是紧算子且按算子范数收敛于 \( T \)，则 \( T \) 也是紧的。即，紧算子在算子范数拓扑下是闭的。 紧算子与有界算子的复合（只要复合有意义）仍是紧算子。 第三步：紧算子的谱理论（Riesz-Schauder理论） 这是紧算子理论的核心。设 \( T: X \to X \) 是复巴拿赫空间 \( X \) 上的紧算子。 谱点 \( 0 \) 总是属于谱集 \( \sigma(T) \)。 非零谱点 \( \lambda \neq 0 \) 一定是 \( T \) 的特征值。这意味着存在非零向量 \( x \) 使得 \( T x = \lambda x \)。 每个非零特征值 \( \lambda \) 对应的特征空间（即所有满足 \( T x = \lambda x \) 的 \( x \) 构成的子空间）是有限维的。 谱集 \( \sigma(T) \) 是至多可数的，且其唯一可能的聚点是 \( 0 \)。也就是说，非零谱点只有有限个或者是一个收敛于 \( 0 \) 的序列。 第四步：紧算子的应用 紧算子的理论是积分方程和微分方程理论的基础。许多积分算子（其核函数是平方可积的）是希尔伯特空间上的紧算子。这允许我们将积分方程 \( \lambda x - K x = y \)（其中 \( K \) 是紧算子）转化为特征值问题来研究解的存在性和唯一性。弗雷德霍姆理论（Fredholm theory）正是建立在这一基础之上，它描述了紧算子方程 \( (\lambda I - T)x = y \) 的解的结构。