里斯定理（关于Lp空间的对偶）

我将为你讲解里斯定理（关于Lp空间的对偶），这是泛函分析中联系Lp空间与其对偶空间的基本结果。

1. 背景与动机

   • 在数学分析中，我们常希望用线性泛函来研究函数空间。线性泛函是从函数空间到数域的线性映射。
   • 对于Lp空间（p ≥ 1），一个自然问题是：它的对偶空间（所有连续线性泛函组成的空间）是什么？
   • 里斯定理完美地回答了这个问题：当1 ≤ p < ∞时，Lp空间的对偶空间可以等距同构地等同于Lq空间，其中1/p + 1/q = 1。

2. 关键概念准备

   • Lp空间：设(Ω, Σ, μ)是测度空间，对于1 ≤ p < ∞，Lp(μ)由所有可测函数f组成，满足∫|f|^p dμ < ∞。
   • 对偶空间：Banach空间X的对偶空间X*由所有连续线性泛函F: X → ℝ（或ℂ）组成，配备算子范数。
   • 赫尔德共轭指数：若1 < p < ∞，q = p/(p-1)满足1/p + 1/q = 1；p=1时对应q=∞。

3. 定理的严格表述

   • 设1 ≤ p < ∞，q为赫尔德共轭指数。对任意g ∈ Lq(μ)，映射Φ_g(f) = ∫f·g dμ定义了Lp上的连续线性泛函，且‖Φ_g‖ = ‖g‖_q。
   • 反之，若F是Lp(μ)上的连续线性泛函，则存在唯一的g ∈ Lq(μ)使得F(f) = ∫f·g dμ对所有f ∈ Lp(μ)成立。
   • 映射g ↦ Φ_g是等距同构：Lq(μ) ≅ (Lp(μ))*。

4. 证明思路的核心步骤

   • 存在性：通过Radon-Nikodym定理构造g。对σ-有限测度，先定义集函数ν(E) = F(χ_E)，证明ν关于μ绝对连续，则存在g使dν = g dμ。
   • 唯一性：若g₁、g₂均表示F，则∫f(g₁-g₂)dμ=0对所有f成立，取f为符号函数证明g₁=g₂ a.e.。
   • 等距性：赫尔德不等式给出‖Φ_g‖ ≤ ‖g‖_q，构造特殊f（如f = |g|^{q-1}sign(g)）证明等号成立。

5. 特殊情况与注记

   • p=2时，L²是Hilbert空间，定理退化为Riesz表示定理：L²对偶于自身。
   • p=∞时定理不成立：L¹的对偶是L∞，但L∞的对偶严格大于L¹。
   • 对非σ-有限测度空间，表示可能不唯一，但等距同构仍成立。

6. 应用与意义

   • 为变分法提供基础：最小化问题转化为对偶空间中的优化。
   • 在偏微分方程中，弱解的存在性依赖于Lp空间的对偶结构。
   • 是泛函分析中抽象对偶理论的具体实现范例。

这个定理建立了可积函数空间与线性泛函的深刻联系，是现代分析学的基石结果。