遍历理论中的叶状结构 基本定义 在遍历理论中， 叶状结构 （Foliation）是微分动力系统或保测动力系统的一个几何工具，用于描述状态空间的分解方式。具体而言，若一个动力系统定义在流形 \( M \) 上，叶状结构将 \( M \) 划分为一系列互相不相交的子流形（称为“叶”），每个叶在动力系统的演化下具有某种不变性。叶的维数通常低于 \( M \) 的维数，例如稳定叶、不稳定叶或中心叶。 叶的遍历性 叶状结构与遍历性的关联体现在：若动力系统是遍历的（即状态空间不能被分解为两个非平凡的不变集），则叶状结构中的“典型叶”本身可能具有遍历性。例如，在双曲系统中，稳定叶和不稳定叶上的限制动力学可能分别满足遍历条件，这为研究局部渐近行为提供了途径。 绝对连续叶状结构 叶状结构的“绝对连续性”是关键性质，指叶间的Holonomy映射（沿横截方向的转移映射）是绝对连续的。这一性质保证了叶状结构在测度意义下具有良好的行为，例如在SRB测度（Sinai–Ruelle–Bowen测度）的研究中，绝对连续的不稳定叶是证明系统统计规律性的基础。 与熵和Lyapunov指数的关系 叶状结构通过Pesin熵公式和Lyapunov指数刻画系统的混沌程度。不稳定叶的几何复杂性（如叶的弯曲和收缩）反映了正Lyapunov指数的影响，而熵则度量了叶上轨道分离的速率。叶状结构的可测性允许使用乘法遍历定理分析指数增长。 应用：部分双曲系统 在部分双曲系统中（兼具双曲和非双曲方向），叶状结构用于分解动力学：不稳定叶对应扩张方向，中心叶对应零Lyapunov指数方向，稳定叶对应收缩方向。此类系统的遍历性证明常依赖于中心叶的“访问性质”和叶间转移的混合性。 前沿问题 当前研究关注非一致双曲系统中叶状结构的可测刚性、叶上诱导动力学的统计性质，以及叶状结构在随机动力系统或无限维系统下的推广。例如，能否通过叶的几何特性分类系统的遍历性，仍是开放方向。