博雷尔正规化 动机与背景 在实变函数论中，可测函数（如勒贝格可测函数）的定义允许函数在零测集上任意修改而不影响其积分值。然而，这种灵活性可能导致函数在某些点（如间断点）缺乏良好的分析性质。博雷尔正规化旨在通过修改函数在零测集上的值，使其具备更好的正则性（如半连续性或连续性），同时保持与原函数几乎处处相等。 定义与核心思想 设 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是一个勒贝格可测函数。若存在一个博雷尔可测函数 \( g \)，使得 \( f = g \) 几乎处处成立，则称 \( g \) 为 \( f \) 的一个 博雷尔正规化 。 关键点：博雷尔正规化通过调整函数在零测集上的值，使其成为博雷尔可测函数（即对博雷尔σ-代数可测），从而具备更强的可预测性（例如，博雷尔函数对连续函数序列的极限封闭）。 构造方法 上、下极限函数法 ：定义函数 \( f^ (x) = \limsup_ {y \to x} f(y) \) 和 \( f_ (x) = \liminf_ {y \to x} f(y) \)。若 \( f \) 是局部有界的，则 \( f^* \) 和 \( f_* \) 均为博雷尔可测（甚至是上半连续和下半连续），且当 \( f \) 在点 \( x \) 连续时，\( f^ (x) = f_ (x) = f(x) \)。由于连续点集是稠密的（根据勒贝格密度定理），可证明 \( f^* = f \) 几乎处处成立。 利用卢津定理 ：若 \( f \) 可测，则对任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在闭集 \( F \subset \mathbb{R}^n \) 使得 \( m(\mathbb{R}^n \setminus F) < \varepsilon \)，且 \( f|_ F \) 连续。通过连续延拓定理（如蒂策延拓），可将 \( f|_ F \) 延拓为整个空间上的连续函数 \( g \)，此时 \( g \) 是 \( f \) 的一个近似正规化。 性质与意义 唯一性 ：博雷尔正规化在几乎处处意义下唯一。若 \( g_ 1, g_ 2 \) 均为 \( f \) 的博雷尔正规化，则 \( g_ 1 = g_ 2 \) 几乎处处。 稳定性 ：博雷尔正规化保持函数的积分值不变（因修改仅限于零测集），且若原函数有界或属于 \( L^p \)，正规化后仍保持相同性质。 应用 ：在概率论中，随机变量的修正版本常需博雷尔正规化以确保条件期望等操作的良好定义；在偏微分方程中，正规化可用于定义弱解的连续表示。 与其它概念的比较 与 勒贝格可测函数 的区别：博雷尔正规化是勒贝格可测函数的“精炼版本”，通过消除零测集上的奇异行为，使其具备博雷尔可测性。 与 连续修正 的关系：博雷尔正规化不要求函数全局连续，但可通过进一步限制（如选择上半连续修正）获得更好的正则性。