代数簇的仿射维数 代数簇的仿射维数是描述其几何复杂性的核心不变量。我们从最基础的定义开始，逐步深入其性质与计算方法。 1. 仿射代数簇的回顾 仿射代数簇 \( X \subseteq \mathbb{A}^n \) 是多项式环 \( k[ x_ 1, \dots, x_ n] \) 中某个理想 \( I \) 的零点集合，即 \( X = V(I) \)。其坐标环为 \( k[ X] = k[ x_ 1, \dots, x_ n ]/I \)。 2. 仿射维数的直观理解 维数直观上表示簇的“自由度”。例如： 点的维数为 \( 0 \)（无自由度）； 曲线的维数为 \( 1 \)（一个参数可描述其上点）； 曲面的维数为 \( 2 \)。 在仿射空间中，维数可通过子簇的包含关系或代数方法严格定义。 3. 克鲁尔维数的定义 仿射簇 \( X \) 的仿射维数定义为它的坐标环 \( k[ X] \) 的 克鲁尔维数 ： \[ \dim X = \dim k[ X ], \] 其中环的克鲁尔维数是其素理想链的最大长度。具体地： 若存在素理想链 \( \mathfrak{p}_ 0 \subsetneq \mathfrak{p}_ 1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_ r \subseteq k[ X] \)，则链长 \( r \) 的上确界为 \( \dim k[ X ] \)。 示例 ： \( \mathbb{A}^n \) 的坐标环为 \( k[ x_ 1, \dots, x_ n ] \)，素理想链如 \[ (0) \subsetneq (x_ 1) \subsetneq (x_ 1, x_ 2) \subsetneq \cdots \subsetneq (x_ 1, \dots, x_ n) \] 长度为 \( n \)，故 \( \dim \mathbb{A}^n = n \)。 4. 不可约分解与维数 若 \( X = X_ 1 \cup \cdots \cup X_ r \) 是不可约分支的并，则 \[ \dim X = \max \{ \dim X_ i \}. \] 因此维数问题常化归到不可约簇的情形。 5. 维数与多项式映射的关系 设 \( \phi: X \to Y \) 是仿射簇的态射，诱导坐标环的同态 \( \phi^* : k[ Y] \to k[ X ] \)。 若 \( \phi \) 是满射，则 \( \dim X \geq \dim Y \)； 若 \( \phi \) 是有限态射（\( k[ X] \) 在 \( k[ Y ] \) 上整），则 \( \dim X = \dim Y \)。 6. 维数与超越度 当 \( k \) 为代数闭域时，不可约仿射簇 \( X \) 的维数等于其函数域 \( k(X) \) 在 \( k \) 上的 超越次数 ： \[ \dim X = \operatorname{tr.deg}_ k k(X). \] 这提供了计算维数的代数工具。例如，若 \( k(X) \cong k(t_ 1, \dots, t_ d) \)，则 \( \dim X = d \)。 7. 重要定理：维数下降定理 若 \( f: X \to Y \) 是支配态射（像集稠密），则对任意 \( y \in f(X) \)，有 \[ \dim f^{-1}(y) \geq \dim X - \dim Y, \] 且等号在 \( Y \) 的某个开集上成立。这反映了纤维维数与映射的相对关系。 8. 应用：切空间与维数 在非奇点 \( x \in X \) 处，切空间 \( T_ xX \) 的维数等于 \( \dim X \)。若某点切空间维数大于 \( \dim X \)，则该点为奇点。 总结 仿射维数通过坐标环的素理想链、函数域的超越度、映射的纤维结构等多重方式刻画，是研究代数簇几何与分类的基本工具。后续可进一步探讨射影簇的维数或维数在相交理论中的应用。