p-adic数与p-adic分析 p-adic数是数论中与素数p相关的一类数，它们扩展了有理数域，并提供了与实数分析不同的分析框架。下面从基础概念逐步展开： 1. 有理数的p-adic赋值 对任意素数p，每个非零有理数\( x \)可唯一表示为： \[ x = p^k \cdot \frac{a}{b}, \quad (a,b,p)=1, \ k \in \mathbb{Z}. \] 定义 p-adic赋值 为： \[ v_ p(x) = k \quad (\text{若}x \neq 0), \quad v_ p(0) = +\infty. \] 例如，\( x = \frac{18}{5} = 2^1 \cdot \frac{9}{5} \)，则\( v_ 2(x)=1 \)。 2. p-adic绝对值 基于赋值定义绝对值： \[ |x|_ p = p^{-v_ p(x)} \quad (\text{约定 } |0|_ p=0). \] 性质： 非阿基米德性 ：\( |x+y|_ p \leq \max(|x|_ p, |y|_ p) \)（强三角不等式）。 例如，\( |5|_ {5} = \frac{1}{5} \)，而\( |5|_ 2 = 1 \)。 3. p-adic数的构造 通过绝对值\( |\cdot|_ p \)对有理数域\(\mathbb{Q}\)进行完备化（类似实数由柯西序列构造），得到 p-ad数域 \(\mathbb{Q}_ p\)。 p-adic整数环 \(\mathbb{Z}_ p\)：满足\( |x|_ p \leq 1 \)的\(\mathbb{Q}_ p\)子集，即\( v_ p(x) \geq 0 \)。 每个p-adic数可唯一展开为： \[ x = \sum_ {k=n}^{\infty} a_ k p^k, \quad a_ k \in \{0,1,\dots,p-1\}, \ n \in \mathbb{Z}. \] 例如，\( -1 \in \mathbb{Q}_ 2 \)的展开为\( 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots \)。 4. p-adic分析的特点 收敛性 ：级数\(\sum a_ n\)在\(\mathbb{Q}_ p\)中收敛当且仅当\( |a_ n|_ p \to 0 \)。 函数性质 ：多项式函数、指数函数、对数函数等可定义p-adic版本，但收敛半径与实数分析不同（例如指数函数要求\( |x|_ p < p^{-1/(p-1)} \)）。 应用 ：解决丢番图方程（如亨泽尔引理）、研究模形式与朗兰兹纲领等。 5. 与实数分析的对比 实数：关注“大小”和极限；p-adic数：关注“p整除性”。 几何：p-adic绝对值诱导的拓扑是 totally disconnected（完全不连通），而实数轴是连通的。 通过p-adic数，数论中的局部-全局原理（如哈塞-莫德尔定理）得以精确表述，成为现代数论的核心工具之一。