模的张量积

字数 2734 2025-11-05 08:31:28

模的张量积

我们先从模的张量积的基本动机开始理解。假设你有一个环 \(R\)，以及两个 \(R\)-模 \(M\) 和 \(N\)。我们希望构造一个新的 \(R\)-模，它能以一种“最通用”的方式捕获 \(M\) 和 \(N\) 中元素的“双线性乘积”信息。这里的“双线性”意味着：对于固定的 \(m \in M\)，映射 \(n \mapsto m \otimes n\) 是 \(R\)-线性的；同样，对于固定的 \(n \in N\)，映射 \(m \mapsto m \otimes n\) 也是 \(R\)-线性的。

更具体地说，我们想要一个 \(R\)-模 \(T\) 和一个双线性映射 \(\otimes: M \times N \to T\)，满足以下泛性质：对于任意 \(R\)-模 \(P\) 和任意双线性映射 \(f: M \times N \to P\)，都存在唯一的 \(R\)-模同态 \(\tilde{f}: T \to P\)，使得 \(f = \tilde{f} \circ \otimes\)。这个泛性质保证了张量积是“最通用”的双线性映射的接收者。

接下来，我们来看张量积的具体构造。为了确保这样的对象存在，我们通过自由模和商模来显式地构建它。

考虑由集合 \(M \times N\)（即所有有序对 \((m, n)\)）生成的自由 \(R\)-模。这个自由模的元素是所有形式有限的线性组合 \(\sum r_i (m_i, n_i)\)，其中 \(r_i \in R, m_i \in M, n_i \in N\)。
现在，我们取这个自由模的一个子模 \(K\)，由所有形如以下元素的元素生成：

\((m_1 + m_2, n) - (m_1, n) - (m_2, n)\)
\((m, n_1 + n_2) - (m, n_1) - (m, n_2)\)
\(r(m, n) - (rm, n)\)
\(r(m, n) - (m, rn)\)
这些生成元的作用正是为了强制我们即将定义的张量积映射 \(\otimes\) 满足双线性性质。

我们定义张量积模 \(M \otimes_R N\) 为这个自由模关于子模 \(K\) 的商模。
在商模中，元素 \((m, n) + K\) 被记作 \(m \otimes n\)，称为纯张量。张量积模 \(M \otimes_R N\) 中的一般元素是有限个纯张量的线性组合，即形如 \(\sum_{i=1}^k m_i \otimes n_i\) 的元素。

通过这个构造，映射 \(\otimes: M \times N \to M \otimes_R N\) 定义为 \((m, n) \mapsto m \otimes n\)，根据商模的定义，它自动满足双线性性。并且，可以验证这个构造满足上面描述的泛性质。

现在，我们来看张量积的一些基本性质，这些性质源于其构造和泛性质。

典范同构：
\(M \otimes_R R \cong M\)，通过同构 \(m \otimes r \mapsto rm\)。
\(M \otimes_R N \cong N \otimes_R M\)，通过同构 \(m \otimes n \mapsto n \otimes m\)。
张量积满足结合律：\((M \otimes_R N) \otimes_R P \cong M \otimes_R (N \otimes_R P)\)。
函子性：张量积可以看作一个函子。固定一个 \(R\)-模 \(M\)，那么函子 \(M \otimes_R -\)（或 \(-\otimes_R N\)）是一个从 \(R\)-模范畴到自身的函子。如果 \(f: N_1 \to N_2\) 是一个 \(R\)-模同态，那么存在唯一的同态 \(id_M \otimes f: M \otimes_R N_1 \to M \otimes_R N_2\)，由 \(m \otimes n \mapsto m \otimes f(n)\) 定义。这个函子是右正合的，即如果序列 \(N_1 \xrightarrow{f} N_2 \xrightarrow{g} N_3 \to 0\) 是正合的，那么序列 \(M \otimes_R N_1 \xrightarrow{id_M \otimes f} M \otimes_R N_2 \xrightarrow{id_M \otimes g} M \otimes_R N_3 \to 0\) 也是正合的。

理解了这些基础后，我们可以探讨一个关键概念：平坦模。一个 \(R\)-模 \(M\) 被称为平坦模，如果函子 \(M \otimes_R -\) 是正合的，即它把任意短正合序列 \(0 \to N_1 \to N_2 \to N_3 \to 0\) 映射成另一个短正合序列 \(0 \to M \otimes_R N_1 \to M \otimes_R N_2 \to M \otimes_R N_3 \to 0\)。自由模和投射模都是平坦模的例子。平坦性是交换代数和代数几何中一个非常重要的性质，它与局部环上的模的局部性质密切相关。

最后，我们来看张量积在标量扩张中的应用。假设我们有一个环同态 \(f: R \to S\)。那么 \(S\) 可以看作一个 \(R\)-模（通过 \(r \cdot s = f(r)s\)）。对于任意 \(R\)-模 \(M\)，我们可以构造张量积 \(M \otimes_R S\)。这个张量积自然具有一个 \(S\)-模结构：\(s' \cdot (m \otimes s) = m \otimes (s's)\)。这个过程称为将模 \(M\) 从环 \(R\) 标量扩张（或基变换）到环 \(S\)，得到的 \(S\)-模记作 \(M_S\)。标量扩张在代数几何中对应着将簇（或层）从一个基域拉回到另一个基域的操作，是研究代数簇在域扩张下行为的基本工具。

模的张量积我们先从模的张量积的基本动机开始理解。假设你有一个环 \( R \)，以及两个 \( R \)-模 \( M \) 和 \( N \)。我们希望构造一个新的 \( R \)-模，它能以一种“最通用”的方式捕获 \( M \) 和 \( N \) 中元素的“双线性乘积”信息。这里的“双线性”意味着：对于固定的 \( m \in M \)，映射 \( n \mapsto m \otimes n \) 是 \( R \)-线性的；同样，对于固定的 \( n \in N \)，映射 \( m \mapsto m \otimes n \) 也是 \( R \)-线性的。更具体地说，我们想要一个 \( R \)-模 \( T \) 和一个双线性映射 \( \otimes: M \times N \to T \)，满足以下泛性质：对于任意 \( R \)-模 \( P \) 和任意双线性映射 \( f: M \times N \to P \)，都存在唯一的 \( R \)-模同态 \( \tilde{f}: T \to P \)，使得 \( f = \tilde{f} \circ \otimes \)。这个泛性质保证了张量积是“最通用”的双线性映射的接收者。接下来，我们来看张量积的具体构造。为了确保这样的对象存在，我们通过自由模和商模来显式地构建它。考虑由集合 \( M \times N \)（即所有有序对 \( (m, n) \)）生成的自由 \( R \)-模。这个自由模的元素是所有形式有限的线性组合 \( \sum r_ i (m_ i, n_ i) \)，其中 \( r_ i \in R, m_ i \in M, n_ i \in N \)。现在，我们取这个自由模的一个子模 \( K \)，由所有形如以下元素的元素生成： \( (m_ 1 + m_ 2, n) - (m_ 1, n) - (m_ 2, n) \) \( (m, n_ 1 + n_ 2) - (m, n_ 1) - (m, n_ 2) \) \( r(m, n) - (rm, n) \) \( r(m, n) - (m, rn) \) 这些生成元的作用正是为了强制我们即将定义的张量积映射 \( \otimes \) 满足双线性性质。我们定义张量积模 \( M \otimes_ R N \) 为这个自由模关于子模 \( K \) 的商模。在商模中，元素 \( (m, n) + K \) 被记作 \( m \otimes n \)，称为纯张量。张量积模 \( M \otimes_ R N \) 中的一般元素是有限个纯张量的线性组合，即形如 \( \sum_ {i=1}^k m_ i \otimes n_ i \) 的元素。通过这个构造，映射 \( \otimes: M \times N \to M \otimes_ R N \) 定义为 \( (m, n) \mapsto m \otimes n \)，根据商模的定义，它自动满足双线性性。并且，可以验证这个构造满足上面描述的泛性质。现在，我们来看张量积的一些基本性质，这些性质源于其构造和泛性质。典范同构： \( M \otimes_ R R \cong M \)，通过同构 \( m \otimes r \mapsto rm \)。 \( M \otimes_ R N \cong N \otimes_ R M \)，通过同构 \( m \otimes n \mapsto n \otimes m \)。张量积满足结合律：\( (M \otimes_ R N) \otimes_ R P \cong M \otimes_ R (N \otimes_ R P) \)。函子性：张量积可以看作一个函子。固定一个 \( R \)-模 \( M \)，那么函子 \( M \otimes_ R - \)（或 \( -\otimes_ R N \)）是一个从 \( R \)-模范畴到自身的函子。如果 \( f: N_ 1 \to N_ 2 \) 是一个 \( R \)-模同态，那么存在唯一的同态 \( id_ M \otimes f: M \otimes_ R N_ 1 \to M \otimes_ R N_ 2 \)，由 \( m \otimes n \mapsto m \otimes f(n) \) 定义。这个函子是右正合的，即如果序列 \( N_ 1 \xrightarrow{f} N_ 2 \xrightarrow{g} N_ 3 \to 0 \) 是正合的，那么序列 \( M \otimes_ R N_ 1 \xrightarrow{id_ M \otimes f} M \otimes_ R N_ 2 \xrightarrow{id_ M \otimes g} M \otimes_ R N_ 3 \to 0 \) 也是正合的。理解了这些基础后，我们可以探讨一个关键概念：平坦模。一个 \( R \)-模 \( M \) 被称为平坦模，如果函子 \( M \otimes_ R - \) 是正合的，即它把任意短正合序列 \( 0 \to N_ 1 \to N_ 2 \to N_ 3 \to 0 \) 映射成另一个短正合序列 \( 0 \to M \otimes_ R N_ 1 \to M \otimes_ R N_ 2 \to M \otimes_ R N_ 3 \to 0 \)。自由模和投射模都是平坦模的例子。平坦性是交换代数和代数几何中一个非常重要的性质，它与局部环上的模的局部性质密切相关。最后，我们来看张量积在标量扩张中的应用。假设我们有一个环同态 \( f: R \to S \)。那么 \( S \) 可以看作一个 \( R \)-模（通过 \( r \cdot s = f(r)s \)）。对于任意 \( R \)-模 \( M \)，我们可以构造张量积 \( M \otimes_ R S \)。这个张量积自然具有一个 \( S \)-模结构：\( s' \cdot (m \otimes s) = m \otimes (s's) \)。这个过程称为将模 \( M \) 从环 \( R \) 标量扩张（或基变换）到环 \( S \)，得到的 \( S \)-模记作 \( M_ S \)。标量扩张在代数几何中对应着将簇（或层）从一个基域拉回到另一个基域的操作，是研究代数簇在域扩张下行为的基本工具。