圆的渐开线在极坐标下的表示（续） 我们继续深入探讨圆的渐开线在极坐标下的表示。在前面的讨论中，我们得到了核心的参数方程： \[ \begin{cases} x = R (\cos \theta + \theta \sin \theta) \\ y = R (\sin \theta - \theta \cos \theta) \end{cases} \] 其中，\( R \) 是基圆的半径，\( \theta \) 是展开角（即从初始切点开始，绳子展开部分所对应的圆心角）。 现在，我们的目标是将这个在直角坐标系下的参数方程，转换为极坐标 \( (r, \phi) \) 下的形式。这里，\( r \) 是点到原点的距离（极点位于基圆的圆心），\( \phi \) 是点的极角（从极轴逆时针测量到该点的角度）。 第一步：建立极坐标与直角坐标的关系 根据极坐标的定义，我们有： \[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \] \[ \phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \quad (x > 0) \] （需要根据点所在的象限调整 \( \phi \) 的值） 第二步：计算极径 \( r \) 我们将直角坐标的参数方程代入 \( r \) 的表达式： \[ r^2 = x^2 + y^2 = \left[ R (\cos \theta + \theta \sin \theta) \right]^2 + \left[ R (\sin \theta - \theta \cos \theta) \right ]^2 \] 展开平方项： \[ r^2 = R^2 \left[ (\cos \theta + \theta \sin \theta)^2 + (\sin \theta - \theta \cos \theta)^2 \right ] \] 展开第一个平方项： \[ (\cos \theta + \theta \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta + 2\theta \sin \theta \cos \theta + \theta^2 \sin^2 \theta \] 展开第二个平方项： \[ (\sin \theta - \theta \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2\theta \sin \theta \cos \theta + \theta^2 \cos^2 \theta \] 将两个展开式相加： \[ r^2 = R^2 \left[ (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + (2\theta \sin \theta \cos \theta - 2\theta \sin \theta \cos \theta) + (\theta^2 \sin^2 \theta + \theta^2 \cos^2 \theta) \right ] \] 中间项 \( 2\theta \sin \theta \cos \theta - 2\theta \sin \theta \cos \theta = 0 \)。 第一项 \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \)。 第三项 \( \theta^2 \sin^2 \theta + \theta^2 \cos^2 \theta = \theta^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = \theta^2 \)。 因此： \[ r^2 = R^2 (1 + \theta^2) \] 所以，极径 \( r \) 为： \[ r = R \sqrt{1 + \theta^2} \] （由于 \( r > 0 \)，我们取正平方根） 第三步：计算极角 \( \phi \) 极角 \( \phi \) 由 \( \tan \phi = \frac{y}{x} \) 给出。 代入 \( x \) 和 \( y \)： \[ \tan \phi = \frac{y}{x} = \frac{R (\sin \theta - \theta \cos \theta)}{R (\cos \theta + \theta \sin \theta)} = \frac{\sin \theta - \theta \cos \theta}{\cos \theta + \theta \sin \theta} \] 这是一个关于 \( \theta \) 的表达式。为了找到 \( \phi \) 和 \( \theta \) 之间的直接关系，我们可以利用几何意义。 第四步：利用几何关系简化 \( \phi \) 观察圆的渐开线的生成过程（如右图所示）： 点 \( P \) 是渐开线上的点。 线段 \( PT \) 是基圆的切线，\( T \) 是切点。 圆心 \( O \) 到点 \( P \) 的连线是极径 \( r \)。 圆心角 \( \angle POT \) 是展开角 \( \theta \)。 在直角三角形 \( OTP \) 中，\( OT = R \)，\( PT = R\theta \)（因为弧长 \( \overset{\frown}{AT} = R\theta \) 等于线段 \( PT \) 的长度）。 因此，\( \tan(\angle POT) = \frac{PT}{OT} = \frac{R\theta}{R} = \theta \)。 现在，注意极角 \( \phi \) 是 \( \angle XOP \)（\( OX \) 是极轴）。 而 \( \angle XOP = \angle XOT + \angle TOP \)。 其中，\( \angle XOT \) 是切点 \( T \) 对应的圆心角，它等于 \( \theta \)（因为从初始点 \( A \) 展开到 \( T \)）。 而 \( \angle TOP \) 是直角三角形 \( OTP \) 中的一个锐角，它等于 \( \arctan\left(\frac{PT}{OT}\right) = \arctan(\theta) \)。 但是，请注意，在三角形 \( OTP \) 中，\( \angle TOP \) 和 \( \angle POT \) 是互余的，即 \( \angle TOP = 90^\circ - \angle POT = 90^\circ - \theta \)（如果以角度制）？这里需要小心，因为 \( \theta \) 是弧度值。 更严谨的几何分析： 在直角三角形 \( OTP \) 中： \( \angle OTP = 90^\circ \)（半径垂直于切线） \( \angle POT = \theta \)（如前所述，\( \tan(\angle POT) = \theta \)） 所以，\( \angle TOP = 90^\circ - \theta \)（角度制）或 \( \frac{\pi}{2} - \theta \)（弧度制） 那么，极角 \( \phi = \angle XOT + \angle TOP = \theta + \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\pi}{2} \)。 这个结果似乎表明 \( \phi \) 是一个常数（\( 90^\circ \)），这显然不对，因为渐开线是螺旋状的。错误在于对角度加法的理解。 让我们重新分析向量 \( \overrightarrow{OP} \) 的方向。 向量 \( \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OT} + \overrightarrow{TP} \)。 \( \overrightarrow{OT} \) 是从圆心指向切点 \( T \) 的向量，其方向角（极角）就是 \( \theta \)。 \( \overrightarrow{TP} \) 是沿着切线的向量。由于切线垂直于半径 \( OT \)，所以 \( \overrightarrow{TP} \) 的方向角是 \( \theta + \frac{\pi}{2} \)（或 \( \theta - \frac{\pi}{2} \)，取决于展开方向。我们假设逆时针展开，所以是 \( \theta + \frac{\pi}{2} \)）。 因此，向量 \( \overrightarrow{OP} \) 是两个向量之和，其方向并不是简单的角度相加。我们需要回到 \( \tan \phi = \frac{y}{x} \) 的表达式。 从 \( \tan \phi = \frac{\sin \theta - \theta \cos \theta}{\cos \theta + \theta \sin \theta} \) 出发。 我们可以将其看作分子分母同时除以 \( \cos \theta \)（假设 \( \cos \theta \neq 0 \)）： \[ \tan \phi = \frac{\tan \theta - \theta}{1 + \theta \tan \theta} \] 这可以联想到正切函数的减法公式：\( \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \)。 令 \( \alpha = \theta \)，\( \beta = \arctan(\theta) \)，则 \( \tan \beta = \theta \)。 代入公式： \[ \tan(\theta - \arctan(\theta)) = \frac{\tan \theta - \theta}{1 + \theta \tan \theta} \] 这正是我们上面的表达式。 因此，我们得到： \[ \tan \phi = \tan(\theta - \arctan(\theta)) \] 所以， \[ \phi = \theta - \arctan(\theta) + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 由于我们通常取主值范围（例如 \( \phi \in [ 0, 2\pi) \)），并且对于渐开线，随着 \( \theta \) 增大，\( \phi \) 也单调增加（但增加速度比 \( \theta \) 慢），我们可以取： \[ \phi = \theta - \arctan(\theta) \] （当 \( \theta = 0 \) 时，\( \phi = 0 \)，符合初始点） 第五步：圆的渐开线的极坐标方程 综合以上结果，我们得到圆的渐开线在极坐标下的表示： 极坐标方程： \[ \begin{cases} r(\theta) = R \sqrt{1 + \theta^2} \\ \phi(\theta) = \theta - \arctan(\theta) \end{cases} \] 其中，参数 \( \theta \)（展开角）从 0 开始变化。 第六步：方程的分析与几何意义 极径 \( r \) : \( r = R \sqrt{1 + \theta^2} \) 表明，随着展开角 \( \theta \) 的增大，点到圆心的距离 \( r \) 单调增加，且增长速度比线性更快。当 \( \theta = 0 \) 时，\( r = R \)，点在基圆上。当 \( \theta \) 很大时，\( r \approx R|\theta| \)，近似于阿基米德螺线。 极角 \( \phi \) : \( \phi = \theta - \arctan(\theta) \)。由于 \( \arctan(\theta) \) 的取值范围是 \( (-\pi/2, \pi/2) \)，所以 \( \phi \) 总是小于 \( \theta \)，但随着 \( \theta \) 增大，\( \arctan(\theta) \) 趋近于 \( \pi/2 \)，因此 \( \phi \) 与 \( \theta \) 的差值趋近于一个常数 \( \theta - \pi/2 \)。这意味着对于大的 \( \theta \)，极角 \( \phi \) 几乎与 \( \theta \) 同步线性增长，只是有一个固定的相位差。 轨迹 : 这个参数方程清晰地描述了渐开线如何从基圆（\( \theta=0 \)）开始，随着 \( \theta \) 增加，点逐渐远离圆心，同时绕圆心旋转，形成一条平滑的曲线。 通过这个极坐标表示，我们可以更方便地分析渐开线的某些性质，例如它与不同极角射线的交点，或者在某些应用（如行星齿轮设计）中计算特定角度下的径向距离。