广义既约梯度法
字数 2372 2025-11-05 08:31:28

广义既约梯度法

广义既约梯度法（Generalized Reduced Gradient Method，GRG）是求解非线性规划问题的一种有效算法，尤其适用于含等式约束和边界约束的优化问题。下面我将从基础概念到算法细节逐步讲解。

第一步：问题形式与核心思想
GRG法处理的标准形式为：

\[\min f(\mathbf{x}) \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{h}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}, \quad \mathbf{l} \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{u}, \]

其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和 \(\mathbf{h}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 为连续可微函数，且 \(m < n\)。核心思想是通过等式约束消去部分变量，将问题降维至一个仅含边界约束的子问题中迭代求解。其名称中的“广义”指它能处理非线性约束，“既约梯度”表示在降维空间定义的梯度概念。

第二步：变量划分与既约梯度构造

  1. 变量划分：将变量分为基本变量 \(\mathbf{x}_B \in \mathbb{R}^m\) 和非基本变量 \(\mathbf{x}_N \in \mathbb{R}^{n-m}\)。需保证雅可比矩阵 \(\nabla_\mathbf{B} \mathbf{h}(\mathbf{x})\) 非奇异（通过数值选择避免奇异性）。
  2. 隐函数求导：利用等式约束 \(\mathbf{h}(\mathbf{x}_B, \mathbf{x}_N) = \mathbf{0}\)，通过隐函数定理，将 \(\mathbf{x}_B\) 视为 \(\mathbf{x}_N\) 的函数，即 \(\mathbf{x}_B = \mathbf{x}_B(\mathbf{x}_N)\)。
  3. 既约梯度计算：将目标函数写作 \(f(\mathbf{x}_B(\mathbf{x}_N), \mathbf{x}_N)\)，对其求导得既约梯度：

\[ \nabla_r f = \nabla_N f - (\nabla_B f)^T (\nabla_B \mathbf{h})^{-1} \nabla_N \mathbf{h}, \]

其中 \(\nabla_B f\) 和 \(\nabla_N f\) 分别表示目标函数对基本变量和非基本变量的梯度，\(\nabla_B \mathbf{h}\) 和 \(\nabla_N \mathbf{h}\) 为约束雅可比矩阵的对应分块。

第三步：算法流程与迭代步骤

  1. 初始化：选择可行点 \(\mathbf{x}^0\)（需满足 \(\mathbf{h}(\mathbf{x}^0) = \mathbf{0}\)），设定容忍度 \(\epsilon > 0\)。
  2. 主循环：
    • 步骤1：变量划分：检测当前变量的活跃边界约束（如 \(x_i = l_i\) 或 \(x_i = u_i\)），将非活跃变量优先选入 \(\mathbf{x}_N\) 以保持自由度。
    • 步骤2：既约梯度计算：按上述公式计算 \(\nabla_r f\)。
    • 步骤3：搜索方向生成：在非基本变量空间沿既约梯度负方向或投影方向（考虑边界约束）确定搜索方向 \(\mathbf{d}_N\)：

\[ d_{N,i} = \begin{cases} -\frac{\partial f_r}{\partial x_{N,i}} & \text{若 } l_i < x_{N,i} < u_i \\ \max(0, -\frac{\partial f_r}{\partial x_{N,i}}) & \text{若 } x_{N,i} = l_i \\ \min(0, -\frac{\partial f_r}{\partial x_{N,i}}) & \text{若 } x_{N,i} = u_i \end{cases}. \]

  • 步骤4：步长选择与校正：
  • 沿 \(\mathbf{d}_N\) 进行一维搜索（如Armijo准则），更新非基本变量 \(\mathbf{x}_N^{k+1} = \mathbf{x}_N^k + \alpha \mathbf{d}_N\)。
  • 通过牛顿法校正基本变量：求解 \(\mathbf{h}(\mathbf{x}_B, \mathbf{x}_N^{k+1}) = \mathbf{0}\) 得到 \(\mathbf{x}_B^{k+1}\)（需保证校正后满足边界约束）。
    • 步骤5：收敛判断：若 \(\|\nabla_r f\| < \epsilon\)，停止；否则返回步骤1。

第四步：关键技术与扩展

  • 可行点维护：GRG法始终在可行域内迭代，校正步骤是关键。若牛顿法不收敛，需缩小步长重新校正。
  • 边界处理：当变量触及边界时，将其固定为常数，并调整变量划分（类似积极集方法）。
  • 扩展应用：GRG法可结合准牛顿法近似Hessian矩阵提升收敛速度，也可处理不等式约束（通过引入松弛变量转为等式形式）。

总结：广义既约梯度法通过变量降维和可行方向搜索，将复杂约束问题转化为序列低维子问题。其优势在于保持可行性和全局收敛性，但依赖初始可行点且校正步骤可能增加计算成本。理解GRG法有助于掌握约束优化中的降维技术与可行路径方法。

广义既约梯度法 广义既约梯度法（Generalized Reduced Gradient Method，GRG）是求解非线性规划问题的一种有效算法，尤其适用于含等式约束和边界约束的优化问题。下面我将从基础概念到算法细节逐步讲解。 第一步：问题形式与核心思想 GRG法处理的标准形式为： \[ \min f(\mathbf{x}) \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{h}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}, \quad \mathbf{l} \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{u}, \] 其中 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 和 \( \mathbf{h}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) 为连续可微函数，且 \( m < n \)。核心思想是通过等式约束消去部分变量，将问题降维至一个仅含边界约束的子问题中迭代求解。其名称中的“广义”指它能处理非线性约束，“既约梯度”表示在降维空间定义的梯度概念。 第二步：变量划分与既约梯度构造 变量划分 ：将变量分为基本变量 \( \mathbf{x}_ B \in \mathbb{R}^m \) 和非基本变量 \( \mathbf{x} N \in \mathbb{R}^{n-m} \)。需保证雅可比矩阵 \( \nabla \mathbf{B} \mathbf{h}(\mathbf{x}) \) 非奇异（通过数值选择避免奇异性）。 隐函数求导 ：利用等式约束 \( \mathbf{h}(\mathbf{x}_ B, \mathbf{x}_ N) = \mathbf{0} \)，通过隐函数定理，将 \( \mathbf{x}_ B \) 视为 \( \mathbf{x}_ N \) 的函数，即 \( \mathbf{x}_ B = \mathbf{x}_ B(\mathbf{x}_ N) \)。 既约梯度计算 ：将目标函数写作 \( f(\mathbf{x}_ B(\mathbf{x}_ N), \mathbf{x}_ N) \)，对其求导得既约梯度： \[ \nabla_ r f = \nabla_ N f - (\nabla_ B f)^T (\nabla_ B \mathbf{h})^{-1} \nabla_ N \mathbf{h}, \] 其中 \( \nabla_ B f \) 和 \( \nabla_ N f \) 分别表示目标函数对基本变量和非基本变量的梯度，\( \nabla_ B \mathbf{h} \) 和 \( \nabla_ N \mathbf{h} \) 为约束雅可比矩阵的对应分块。 第三步：算法流程与迭代步骤 初始化 ：选择可行点 \( \mathbf{x}^0 \)（需满足 \( \mathbf{h}(\mathbf{x}^0) = \mathbf{0} \)），设定容忍度 \( \epsilon > 0 \)。 主循环 ： 步骤1：变量划分 ：检测当前变量的活跃边界约束（如 \( x_ i = l_ i \) 或 \( x_ i = u_ i \)），将非活跃变量优先选入 \( \mathbf{x}_ N \) 以保持自由度。 步骤2：既约梯度计算 ：按上述公式计算 \( \nabla_ r f \)。 步骤3：搜索方向生成 ：在非基本变量空间沿既约梯度负方向或投影方向（考虑边界约束）确定搜索方向 \( \mathbf{d} N \)： \[ d {N,i} = \begin{cases} -\frac{\partial f_ r}{\partial x_ {N,i}} & \text{若 } l_ i < x_ {N,i} < u_ i \\ \max(0, -\frac{\partial f_ r}{\partial x_ {N,i}}) & \text{若 } x_ {N,i} = l_ i \\ \min(0, -\frac{\partial f_ r}{\partial x_ {N,i}}) & \text{若 } x_ {N,i} = u_ i \end{cases}. \] 步骤4：步长选择与校正 ： 沿 \( \mathbf{d}_ N \) 进行一维搜索（如Armijo准则），更新非基本变量 \( \mathbf{x}_ N^{k+1} = \mathbf{x}_ N^k + \alpha \mathbf{d}_ N \)。 通过牛顿法校正基本变量：求解 \( \mathbf{h}(\mathbf{x}_ B, \mathbf{x}_ N^{k+1}) = \mathbf{0} \) 得到 \( \mathbf{x}_ B^{k+1} \)（需保证校正后满足边界约束）。 步骤5：收敛判断 ：若 \( \|\nabla_ r f\| < \epsilon \)，停止；否则返回步骤1。 第四步：关键技术与扩展 可行点维护 ：GRG法始终在可行域内迭代，校正步骤是关键。若牛顿法不收敛，需缩小步长重新校正。 边界处理 ：当变量触及边界时，将其固定为常数，并调整变量划分（类似积极集方法）。 扩展应用 ：GRG法可结合准牛顿法近似Hessian矩阵提升收敛速度，也可处理不等式约束（通过引入松弛变量转为等式形式）。 总结 ：广义既约梯度法通过变量降维和可行方向搜索，将复杂约束问题转化为序列低维子问题。其优势在于保持可行性和全局收敛性，但依赖初始可行点且校正步骤可能增加计算成本。理解GRG法有助于掌握约束优化中的降维技术与可行路径方法。