哈尔测度的模函数 1. 基本概念引入 模函数是定义在局部紧群上描述哈尔测度在群自同构下变换行为的函数。设G是局部紧群，μ是其左哈尔测度，对于任意群自同构φ: G→G，新的集函数μ∘φ（即μ(φ(A))）仍然是G上的左哈尔测度。由哈尔测度的唯一性定理，存在正数Δ(φ)使得μ∘φ = Δ(φ)μ。这个比例因子Δ(φ)就是模函数的最初来源。 2. 内自同构情形的特殊化 特别重要的情形是取φ为内自同构：固定g∈G，定义映射x↦gxg⁻¹。此时对应的比例因子记为Δ(g)，称为群G的模函数。具体来说，对任意可测集A，有μ(gAg⁻¹) = Δ(g)μ(A)。模函数Δ: G→ℝ₊* 是G到正实数乘法群的连续同态。 3. 左哈尔测度与右哈尔测度的关系 模函数的一个重要体现是连接左、右哈尔测度。设μ是左哈尔测度，则通过模函数可以构造右哈尔测度：定义ν(A) = ∫ₐ Δ(x⁻¹)dμ(x)。验证表明ν满足右平移不变性：ν(Ag) = ν(A)。这说明在局部紧群上，左、右哈尔测度一般不相同，它们的比值正是由模函数决定。 4. 模函数的性质分析 模函数具有以下关键性质： (1) 连续性：Δ是G上的连续函数 (2) 同态性：Δ(gh) = Δ(g)Δ(h) (3) 逆元运算：Δ(g⁻¹) = 1/Δ(g) (4) 在紧群上恒为1：若G紧，则Δ≡1 (5) 在阿贝尔群上恒为1：交换群的模函数恒为1 5. 单模群与重要例子 满足Δ≡1的群称为单模群。这类群的左哈尔测度同时也是右哈尔测度。重要的单模群包括： 紧群（如SO(n)、U(n)） 阿贝尔群（如ℝⁿ、圆环群） 离散群（计数测度既左不变又右不变） 半单李群 6. 模函数的微分表示 对于李群，模函数可以通过伴随表示求迹得到具体表达式。设G是n维李群，其李代数为𝔤。模函数在单位元处的微分给出李代数同态dΔ: 𝔤→ℝ。实际上，Δ(g) = |det Ad(g)|，其中Ad是G的伴随表示。这个公式将模函数的计算转化为线性代数问题。 7. 在积分变换中的应用 模函数在群上的积分变换中起关键作用。例如，对于可积函数f，其傅里叶变换的定义需要模函数修正：ℱf(χ) = ∫ₐ f(x)χ(x)Δ(x)¹ᐟ²dμ(x)。这种修正保证了变换在适当函数空间上的等距性质。 8. 与群表示论的联系 在酉表示理论中，模函数出现在诱导表示的构造过程中。当从子群H诱导表示到G时，需要乘以因子(Δₕ(h)/Δᵦ(h))¹ᐟ²来保证诱导表示保持内积结构。这个修正因子正是子群与母群模函数之比的平方根。