分析学词条：拉东测度 从点质量到分布：测度概念的物理直观 测度是长度、面积、体积等概念的数学抽象。在实直线上，勒贝格测度对应区间的长度。但有时我们需要描述“质量”或“电荷”在空间中的分布。例如，在原点放置一个单位质量，其测度在原点处为1，其他地方为0（狄拉克测度）。拉东测度正是这种“质量分布”的严格数学表述，它定义在拓扑空间（如Rⁿ）的某个σ-代数（通常取博雷尔集）上，满足可数可加性，且对紧集有限。 正则性：拉东测度的本质特征 拉东测度的关键性质是 正则性 。设μ是拓扑空间X上的博雷尔测度： 内正则性 ：对任意博雷尔集E，μ(E) = sup{μ(K) | K ⊆ E, K紧致}。 外正则性 ：对任意博雷尔集E，μ(E) = inf{μ(U) | E ⊆ U, U开集}。 正则性意味着测度可由紧集从内部逼近、开集从外部逼近。在局部紧豪斯多夫空间（如Rⁿ）上，有限博雷尔测度自动是拉东测度。 拉东测度的函数表示：里斯表示定理 在局部紧豪斯多夫空间X上，拉东测度与正线性泛函一一对应。里斯表示定理断言：X上任意正线性泛函Λ: C_ c(X) → R（C_ c为紧支集连续函数空间）可表示为： Λ(f) = ∫_ X f dμ， 其中μ是唯一的拉东测度。这建立了泛函分析与测度论的联系，允许我们用测度来研究泛函。 拉东-尼科迪姆定理的推广：绝对连续性 若μ, ν为拉东测度，称ν关于μ绝对连续（记ν ≪ μ），若μ(E)=0蕴含ν(E)=0。拉东-尼科迪姆定理保证存在唯一函数f ∈ L¹_ loc(μ)（局部可积），使dν = f dμ。函数f称为拉东-尼科迪姆导数，记dν/dμ。 拉东测度的收敛性：弱收敛与淡收敛 拉东测度序列{μ_ n}的收敛方式有： 弱收敛 ：对任意有界连续函数f，∫ f dμ_ n → ∫ f dμ。 淡收敛 ：对任意紧支集连续函数f（或趋于0的连续函数），∫ f dμ_ n → ∫ f dμ。 淡收敛弱于弱收敛，在非紧空间更常用。紧性定理（Prokhorov定理）给出了弱收敛拓扑下相对紧集的刻画。 应用：概率论与偏微分方程 在概率论中，概率测度是总质量为1的拉东测度，弱收敛对应分布收敛。在偏微分方程中，拉东测度可描述解的正则性（如测度值解）。此外，在几何测度论中，拉东测度用于研究曲面和变分问题。