代数簇的Hilbert零点定理 背景与动机 在代数簇的研究中，一个基本问题是：如何通过多项式方程组的解（即代数簇）来反推描述该簇的多项式性质？例如，若一个多项式在簇的所有点上取零值，它是否一定属于定义该簇的理想？Hilbert零点定理给出了肯定答案，建立了代数簇与多项式环理想之间的深刻联系。 仿射情况下的定理陈述 设 \( k \) 为代数闭域，\( A = k[ x_ 1, \dots, x_ n ] \) 为多项式环，\( I \subseteq A \) 为一个理想。记 \( V(I) \) 为 \( I \) 定义的仿射代数簇（即 \( I \) 中所有多项式的公共零点集）。Hilbert零点定理分为两部分： 弱形式 ：若 \( f \in A \) 在 \( V(I) \) 上恒为零，则存在整数 \( m > 0 \) 使得 \( f^m \in I \)。 强形式 ：\( I(V(I)) = \sqrt{I} \)，其中 \( \sqrt{I} \) 是 \( I \) 的根理想（由所有满足 \( f^m \in I \) 的 \( f \) 构成），而 \( I(V(I)) \) 是所有在 \( V(I) \) 上为零的多项式构成的理想。 根理想与代数闭域的作用 定理要求 \( k \) 是代数闭域，否则结论可能不成立（例如 \( \mathbb{R}[ x ] \) 中 \( I = (x^2+1) \) 满足 \( V(I) = \emptyset \)，但 \( \sqrt{I} \neq I \)）。根理想 \( \sqrt{I} \) 的引入解决了“多项式零点相同但幂次不同”的问题，例如 \( (x^2) \) 与 \( (x) \) 在 \( k \) 上定义相同的簇 \( \{0\} \)，但 \( I(V(x^2)) = (x) = \sqrt{(x^2)} \)。 几何解释 定理表明，代数闭域上仿射代数簇与多项式环的根理想一一对应。这构成了代数几何的基本字典：几何对象（簇）与代数对象（根理想）可相互转化。例如，不可约簇对应素理想，点对应极大理想。 推广：射影情形的零点定理 在射影空间 \( \mathbb{P}^n \) 中，需考虑齐次理想与射影簇。此时定理需调整：齐次多项式在射影簇上为零的条件对应其属于理想的齐次根理想。这反映了射影几何的全局性质。 应用示例 定理可用于证明“仿射簇的正则函数必为多项式”：若 \( k \) 代数闭，簇 \( X \) 上的正则函数环同构于 \( A(X) = k[ x_ 1, \dots, x_ n ] / I(X) \)。这一定性结果依赖零点定理保证多项式函数的完备性。 现代观点：概形理论中的体现 在Grothendieck的概形理论中，零点定理升华为仿射概形结构层的基本性质：仿射概形 \( \operatorname{Spec} A \) 的整体截面环就是 \( A \)，且点与素理想一一对应，反映了几何与代数的统一性。