代数簇的Grothendieck群 背景动机 在代数几何中，研究代数簇时常需分类其上的向量丛或凝聚层。直接分类可能极为复杂，但若将对象间的“等价关系”简化为加法结构，则可利用群论工具简化问题。Grothendieck群正是将范畴中的对象转化为交换群的构造，其核心思想是：将对象的扩展关系（短正合列）转化为群中的加法关系。 定义与构造 设 \(\mathcal{C}\) 是一个 Abel 范畴（如代数簇 \(X\) 上的凝聚层范畴 \(\textbf{Coh}(X)\)）： 考虑由 \(\mathcal{C}\) 中对象生成的自由阿贝尔群，再模去子群：若存在短正合列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\)，则关系 \([ B] = [ A] + [ C ]\)。 由此得到的商群称为 \(\mathcal{C}\) 的 Grothendieck群 ，记作 \(K_ 0(\mathcal{C})\)。 对代数簇 \(X\)，常记 \(K_ 0(X) := K_ 0(\textbf{Coh}(X))\)。 基本性质 函子性 ：若 \(f: X \to Y\) 是态射，则拉回层 \(f^* \) 诱导群同态 \(K_ 0(Y) \to K_ 0(X)\)。 环结构 ：当 \(\mathcal{C}\) 存在张量积（如向量丛的张量积）时，\(K_ 0(X)\) 成为交换环，称为 Grothendieck环 。 维数过滤 ：若 \(X\) 是诺特概形，可通过层的支集维数定义过滤子群 \(F_ pK_ 0(X)\)，进而研究其伴随分次环。 与几何的关联 陈类 ：通过陈特征映射 \(\mathrm{ch}: K_ 0(X) \to A^* (X) \otimes \mathbb{Q}\)，可将 \(K\)-群元素映到周环（Chow 环），从而与相交理论联系。 Riemann-Roch 定理 ：Grothendieck 将经典 Riemann-Roch 推广为概形态射 \(f: X \to Y\) 的公式： \[ \mathrm{ch}(f_ ![ E]) = f_* (\mathrm{ch}(E) \cdot \mathrm{td}(T_ f)) \] 其中 \(f_ !\) 是 \(K\)-群间的推前映射，\(\mathrm{td}(T_ f)\) 为相对切丛的 Todd 类。 高阶 \(K\)-理论 通过 Quillen 的 \(Q\)-构造或 Waldhausen 范畴，可定义高阶 \(K\)-群 \(K_ n(X)\)（\(n \geq 1\)），用于捕捉更深的同调不变量。 例如，\(K_ 1(X)\) 与向量丛的自同构群相关，\(K_ {-1}(X)\) 与代数循环的等价关系有关。 应用示例 若 \(X\) 是光滑射影簇，则 \(K_ 0(X) \otimes \mathbb{Q} \cong \bigoplus_ i H^{2i}(X, \mathbb{Q})\)（通过陈特征与 Hodge 分解）。 在奇点理论中，\(K\)-群可用于定义映射度的代数版本（如 Lefschetz 不动点公式）。