博雷尔-σ-代数的单调类定理 我们首先回顾σ-代数的定义。一个集合X的子集族𝒜称为σ-代数，如果它满足：(1) X ∈ 𝒜；(2) 若A ∈ 𝒜，则其补集A^c ∈ 𝒜；(3) 对可数多个集合A_ n ∈ 𝒜，它们的并集∪A_ n也属于𝒜。σ-代数对于可数并、可数交和补集运算是封闭的。 现在考虑另一个概念：单调类。一个集合X的子集族ℳ称为单调类，如果它满足：对于ℳ中的任何单调序列（即单调递增E₁ ⊆ E₂ ⊆ ... 或单调递减F₁ ⊇ F₂ ⊇ ...），该序列的极限（即递增序列的并集或递减序列的交集）仍然属于ℳ。单调类只要求对单调序列的极限运算封闭，这比σ-代数的可数并封闭性要弱。 单调类定理指出：如果一个子集族𝒜对于有限交运算是封闭的（即若A, B ∈ 𝒜，则A∩B ∈ 𝒜），那么由𝒜生成的σ-代数σ(𝒜)恰好等于由𝒜生成的单调类m(𝒜)。也就是说，σ(𝒜) = m(𝒜)。 这个定理的重要性在于证明策略上。要证明某个性质P对所有σ(𝒜)中的集合都成立，我们可以定义一个集合类𝒞 = {E ∈ σ(𝒜) : P(E)成立}。如果我们能证明：(1) 𝒜 ⊆ 𝒞；(2) 𝒞是一个单调类。那么根据单调类定理，σ(𝒜) = m(𝒜) ⊆ 𝒞，从而性质P在整个σ-代数上成立。这种方法通常比直接验证σ-代数的三个条件更简单，因为只需要验证单调序列的极限保持性质P。 单调类定理在测度论和概率论中有广泛应用，特别是在证明测度的唯一性、函数可测性等方面提供了有力的工具。