模形式的自守L函数的特殊值 我们先从模形式与L函数的基本联系开始。设 \( f \) 是一个权为 \( k \)、级为 \( N \) 的模形式，其傅里叶展开为： \[ f(z) = \sum_ {n=0}^\infty a(n) e^{2\pi i n z}. \] 对应的L函数定义为狄利克雷级数： \[ L(f, s) = \sum_ {n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^s}, \quad \text{Re}(s) > \frac{k+1}{2}. \] 在适当的函数方程下，\( L(f, s) \) 可解析延拓到整个复平面。 特殊值的意义 模形式L函数的特殊值，指的是在整数点 \( s = m \)（特别是临界点）处的值 \( L(f, m) \)。临界点的定义与函数方程中的对称中心有关：若函数方程为 \[ \Lambda(f, s) = \varepsilon \Lambda(f, k - s), \] 其中 \( \Lambda(f, s) = N^{s/2} (2\pi)^{-s} \Gamma(s) L(f, s) \)，则临界点是满足 \( 0 < \text{Re}(s) < k \) 的整数 \( s \)，即 \( s = 1, 2, \dots, k-1 \)。这些点处L函数的值常包含深刻的算术信息。 艾森斯坦级数的特殊值 以权 \( k \) 的艾森斯坦级数 \( E_ k \) 为例（\( k \ge 4 \) 偶数），其L函数与黎曼ζ函数有关： \[ L(E_ k, s) = \zeta(s) \zeta(s-k+1). \] 在整数点 \( s = m \) 处的值可表为ζ函数的乘积。例如，\( L(E_ k, k) = \zeta(k) \zeta(1) \) 在解析延拓下需谨慎处理，但特殊值如 \( L(E_ k, 1) = \frac{-B_ k}{2k} \)（\( B_ k \) 为伯努利数）具有明确表达式。 尖点形式的特殊值（Deligne 定理） 对尖点形式 \( f \)，特殊值的算术性质更为深刻。Deligne (1979) 证明：若 \( f \) 是权 \( k \) 的 Hecke 特征形式，则对临界整数 \( m \)（\( 1 \le m \le k-1 \)），值 \( L(f, m) \) 可表为： \[ L(f, m) = \frac{(2\pi)^m}{\Omega_ f^{\pm}} \cdot c(m), \] 其中 \( c(m) \in \mathbb{Q} \)（与 \( f \) 的傅里叶系数生成的数域相关），而 \( \Omega_ f^{\pm} \) 是取决于 \( f \) 的周期（period），与 \( f \) 的周期积分有关。这揭示了特殊值的超越性性质：除以周期后为有理数。 BSD 猜想与特殊值 在椭圆曲线的背景下，模形式 \( f \) 对应椭圆曲线 \( E \)，其L函数 \( L(E, s) \) 在 \( s=1 \) 处的特殊值与曲线的算术密切相关。Birch–Swinnerton-Dyer 猜想断言： \[ L(E, 1) = \frac{\Omega_ E \cdot \text{Reg}(E) \cdot \prod_ p c_ p \cdot |\text{Ш}(E)|}{|E(\mathbb{Q})_ {\text{tors}}|^2}, \] 这里 \( L(E, 1) \) 的特殊值编码了曲线的秩、沙群大小等信息。 p-adic L函数与特殊值 通过插值经典L函数在特殊点的值，可构造 p-adic L 函数。例如，对模形式 \( f \)，存在 p-adic L 函数 \( L_ p(f, s) \)，使得对整数 \( m \) 有： \[ L_ p(f, m) = L(f, m) \cdot (\text{欧拉因子修正}), \] 这将特殊值纳入 p-adic 分析框架，与 Iwasawa 理论相连。 应用与推广 特殊值常出现在中心点 \( s=k/2 \)（权 \( k \) 时），如 Waldspurger 公式将 \( L(f, k/2) \) 与二次扭的傅里叶系数关联。此外，特殊值也用于构造模形式的 p-adic 族，并联系到朗兰兹纲领中的相容性猜想。