复变函数的黎曼ζ函数

1. 基本定义与解析延拓
   黎曼ζ函数最初定义为级数形式：ζ(s) = ∑_{n=1}^∞ 1/n^s，其中s=σ+it为复变量。该级数在Re(s)>1时绝对收敛，定义了一个解析函数。通过全纯延拓，ζ函数可延拓为整个复平面上的亚纯函数，仅在s=1处有一个单极点，其留数为1。

2. 函数方程与对称性
   延拓后的ζ函数满足函数方程：ζ(s) = 2^s π^{s-1} sin(πs/2) Γ(1-s) ζ(1-s)。这个方程建立了ζ(s)与ζ(1-s)的联系，体现了关于直线Re(s)=1/2的对称性。通过Γ函数的性质，可推导出ζ函数在负整数的取值：ζ(-2n)=0（n∈N⁺），这些称为平凡零点。

3. 非平凡零点与黎曼猜想
   ζ函数在临界带0<Re(s)<1内有无穷多个非平凡零点。黎曼猜想断言这些零点都位于临界线Re(s)=1/2上。该猜想与素数分布密切相关，例如素数定理等价于ζ函数在Re(s)=1上无零点。

4. 与数论的深刻联系
   ζ函数通过欧拉乘积公式ζ(s)=∏_p (1-p^{-s})^{-1}（Re(s)>1）与素数直接关联，其中p取遍所有素数。这种联系使得ζ函数的零点分布控制着素数定理的余项，而黎曼猜想的成立将给出素数分布的最优估计。

5. 推广与特殊值
   ζ函数可推广为Hurwitz ζ函数、Dedekind ζ函数等。其特殊值如ζ(2)=π²/6，ζ(4)=π⁴/90等与伯努利数相关，而负整数值ζ(-n)=-B_{n+1}/(n+1)揭示了与组合数学的联系。