圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续十）

1. 回顾基本定义
   圆的渐开线：一条与固定圆相切的直线在圆上无滑动滚动时，直线上一点的轨迹。
   圆的渐伸线：渐开线的逆过程，是渐开线的等距曲线，即渐开线的法线包络。
   关键关系：渐开线与渐伸线互为渐屈线-渐伸线对，即渐开线的曲率中心轨迹是原圆，而原圆是渐伸线的渐屈线。

2. 曲率中心的动态分析

   • 设固定圆半径为 \(R\)，渐开线参数方程为：

\[ \begin{cases} x = R(\cos t + t \sin t) \\ y = R(\sin t - t \cos t) \end{cases} \]

其中 \(t\) 是滚动直线的旋转角（弧度）。

• 渐开线上任意一点 \(P(t)\) 的曲率半径 \(\rho(t) = R t\)，曲率中心 \(C(t)\) 位于原圆上，对应参数 \(t\) 的点，即：

\[ C(t) = (R \cos t, R \sin t) \]

 这验证了原圆是渐开线的渐屈线。

3. 渐伸线的曲率特性
   • 渐伸线是渐开线的等距曲线，沿法线方向距离为常数 \(d\)。
   • 若渐开线曲率半径为 \(\rho(t)\)，则渐伸线的曲率半径 \(\rho_e(t)\) 满足：

\[ \rho_e(t) = \rho(t) - d = R t - d \]

当 \(d = R t_0\)（某特定值）时，渐伸线退化为原圆上的点，体现渐屈线的奇点性质。

4. 微分几何的包络解释

   • 渐开线是原圆所有切线的包络，而渐伸线是渐开线所有法线的包络。
   • 通过支持函数描述：原圆的切线族方程为 \(x \cos \theta + y \sin \theta = R\)，其包络（渐开线）由参数 \(\theta = t\) 确定。
   • 渐伸线作为法线包络，满足：法线方向与渐开线切向量垂直，且距离 \(d\) 对应渐开线的弧长参数。

5. 应用示例：齿轮设计中的共轭关系

   • 在齿轮啮合中，渐开线齿廓的共轭齿廓仍是渐开线，因渐开线的法线恒切于基圆（原圆）。
   • 渐伸线的等距性质保证啮合过程中接触点沿公法线运动，传递运动平稳，减少磨损。
   • 微分几何关系解释了为何渐开线齿轮对中心距误差不敏感：渐屈线（基圆）不变时，渐开线形状仅依赖基圆大小。