可测函数序列的等度可积性 1. 基础概念回顾 在实变函数论中，等度可积性是一个描述函数族整体积分性质的重要概念。为了理解它，我们需要先回顾几个基本知识点： 可测函数 ：如果函数 \( f: X \to \mathbb{R} \) 满足对于任意实数 \( a \)，集合 \(\{ x \in X: f(x) > a \}\) 是可测集，则称 \( f \) 是可测函数。 勒贝格积分 ：对可测函数 \( f \) 在测度空间 \((X, \mathcal{M}, \mu)\) 上的积分，记为 \(\int_ X f \, d\mu\)，其构造通过对非负简单函数逼近完成。 绝对连续性 ：若对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对任意可测集 \(E\) 满足 \(\mu(E) < \delta\) 时，有 \(\int_ E |f| \, d\mu < \varepsilon\)，则称积分是绝对连续的（注意与函数的绝对连续性区分）。 2. 等度可积性的定义 设 \((X, \mathcal{M}, \mu)\) 是一个测度空间，\(\{f_ n\}\) 是一族可积函数（即每个 \(f_ n \in L^1(\mu)\)）。称 \(\{f_ n\}\) 是 等度可积 的，如果满足以下两个条件： 一致绝对连续 ：对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对任意可测集 \(E\) 满足 \(\mu(E) < \delta\) 时，对所有 \(n\) 有 \[ \int_ E |f_ n| \, d\mu < \varepsilon. \] 一致尾控 ：对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(M > 0\)，使得对所有 \(n\) 有 \[ \int_ {\{x: |f_ n(x)| > M\}} |f_ n| \, d\mu < \varepsilon. \] 这一条件保证了函数在绝对值大的区域上的积分可以一致地小。 3. 等度可积性的等价刻画 等度可积性有多个等价表述，常用的包括： 维塔利收敛定理的条件 ：若 \(f_ n \to f\) 依测度，且 \(\{f_ n\}\) 等度可积，则 \(f\) 可积且 \(\int f_ n \, d\mu \to \int f \, d\mu\)。 用截断函数刻画 ：\(\{f_ n\}\) 等度可积当且仅当 \(\sup_ n \int |f_ n| \, d\mu < \infty\)，且对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(M\) 使得 \[ \sup_ n \int_ {|f_ n| > M} |f_ n| \, d\mu < \varepsilon. \] 4. 与收敛性的关系 等度可积性在极限交换问题中起关键作用： 若 \(\{f_ n\}\) 等度可积且 \(f_ n \to f\) 依测度 ，则极限函数 \(f\) 可积，且积分收敛： \[ \lim_ {n \to \infty} \int f_ n \, d\mu = \int f \, d\mu. \] 这比勒贝格控制收敛定理更灵活，因为不需要一个全局可积的控制函数。 反例 ：考虑函数列 \(f_ n(x) = n \mathbf{1}_ {(0,1/n)}(x)\) 在 \([ 0,1]\) 上。虽然 \(f_ n \to 0\) 处处成立，但 \(\int f_ n \, d\mu = 1\) 不收敛到 \(0\)，原因正是缺乏等度可积性（尾控条件不满足）。 5. 应用场景 等度可积性常用于以下领域： 概率论 ：随机变量序列的一致可积性是等度可积性的概率版本，用于保证期望值的收敛。 偏微分方程 ：在证明解的存在性时，通过等度可积性从弱收敛序列中提取强收敛子列。 泛函分析 ：在 \(L^1\) 空间中，等度可积集合是相对弱紧的（邓福德-佩蒂斯定理）。 通过以上步骤，你可以看到等度可积性如何从基本的积分性质出发，逐步构建起处理极限交换问题的有力工具。