模形式的L函数与朗兰兹纲领 第一步：模形式L函数的定义 模形式L函数是从模形式的傅里叶展开中构造的狄利克雷级数。设 \( f(z) \) 是权为 \( k \)、级为 \( N \) 的模形式，其傅里叶展开为： \[ f(z) = \sum_ {n=0}^{\infty} a_ n e^{2\pi i n z}. \] 则其L函数定义为： \[ L(f, s) = \sum_ {n=1}^{\infty} \frac{a_ n}{n^s}, \] 其中 \( a_ n \) 是傅里叶系数。该级数在 \( \Re(s) > \frac{k}{2} + 1 \) 时绝对收敛（由赫克界 \( a_ n = O(n^{k/2}) \) 保证）。 第二步：L函数的解析延拓与函数方程 模形式L函数可解析延拓至整个复平面，并满足函数方程。设 \( f \) 是级为 \( N \) 的尖点形式，其完备L函数为： \[ \Lambda(f, s) = N^{s/2} (2\pi)^{-s} \Gamma(s) L(f, s), \] 其中 \( \Gamma(s) \) 是伽玛函数。则函数方程为： \[ \Lambda(f, s) = \varepsilon \Lambda(f, k - s), \] 这里 \( \varepsilon = \pm 1 \) 是f的符号（由f的泛函方程决定）。这一性质源于模形式在模变换下的对称性。 第三步：L函数与朗兰兹纲领的联系 朗兰兹纲领提出：任何“自守形式”的L函数（如模形式L函数）应与某“伽罗瓦表示”的L函数匹配。具体到模形式： 若 \( f \) 是权 \( k \)、级 \( N \) 的尖点形式，则存在伽罗瓦表示 \( \rho: \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \mathrm{GL}_ 2(\mathbb{C}) \)，使得 \( L(f, s) = L(\rho, s) \)。 这称为模性定理（如谷山-志村猜想），是朗兰兹纲领在 \( \mathrm{GL}_ 2 \) 情形的特例。 第四步：L函数的特殊值与算术意义 模形式L函数在整点处的值蕴含算术信息。例如： 在 \( s = k \) 处，\( L(f, k) \) 与f的周期积分相关，可表为有理数乘π的幂。 伯奇-斯温纳顿-戴尔猜想（涉及椭圆曲线）与模形式L函数在 \( s=1 \) 处的零点阶数联系。 第五步：朗兰兹函子性猜想 朗兰兹纲领的核心“函子性猜想”指出：不同自守群之间的L函数应通过伽罗瓦表示的映射关联。例如，模形式L函数的对称幂 \( \mathrm{Sym}^m L(f, s) \) 应对应于高维伽罗瓦表示的L函数，这一猜想仍在研究中。