随机规划中的多阶段随机优化 基本概念引入 多阶段随机优化是研究决策过程需在多个时间点进行，且每个时间点的决策都依赖于当前已实现的不确定性和未来不确定性信息的数学模型。与单阶段问题相比，其核心特征是决策的序列性和信息结构的适应性。例如，能源系统调度中，每日发电计划需根据实际负荷和可再生能源出力实时调整。 数学模型构建 设决策时段为 \( t=1,2,\dots,T \)，不确定性由随机过程 \(\xi_ t\) 描述。决策变量分为： 即时决策 \( x_ 1 \)（需在 \(\xi_ 1\) 实现前确定） 适应性决策 \( x_ t(\xi_ {[ t]}) \)（依赖历史实现值 \(\xi_ {[ t]}=(\xi_ 1,\dots,\xi_ t)\)） 目标函数通常为期望总成本最小化： \[ \min_ {x_ 1} \mathbb{E} \left[ f_ 1(x_ 1) + \min_ {x_ 2} \mathbb{E} \left[ f_ 2(x_ 2) + \cdots + \min_ {x_ T} \mathbb{E}[ f_ T(x_ T)] \right] \right ] \] 约束条件需满足非预期性：\( x_ t \) 仅依赖于 \(\xi_ {[ t ]}\) 而非未来信息。 信息结构与非预期性约束 通过场景树刻画不确定性实现路径：每个节点代表特定历史信息状态，分支对应随机变量的可能取值。非预期性约束转化为同一节点处决策变量取值相同。例如两阶段问题中，第一阶段决策为根节点值，第二阶段决策为叶节点值，但同一父节点的叶节点决策需相等。 求解方法：嵌套分解算法 基于动态规划思想，从最后阶段向前递推： 定义价值函数 \( Q_ t(x_ {t-1}, \xi_ t) \) 表示从阶段 \( t \) 开始的最小期望成本 通过线性规划或二次规划求解每个节点的局部问题 用分段线性函数（如L形算法）或二次函数逼近价值函数 前向模拟与后向修正迭代进行，直到价值函数收敛 计算挑战与降维技术 场景树规模随阶段数指数增长，需采用： 场景缩减技术（如Kantorovich距离最优缩减） 随机对偶动态规划（SDDP）：利用凸性生成割平面 线性决策规则（LDR）：限制决策为不确定性的线性函数 近似动态规划：使用值函数近似或策略函数近似 实际应用扩展 在金融资产管理中，多阶段模型可动态调整投资组合以应对市场波动；在供应链管理中，支持多周期采购、生产与库存协调决策。现代扩展包括结合分布鲁棒优化处理分布模糊性，或引入风险度量控制尾部风险。