模形式的自守L函数的特殊值 我们先从模形式与L函数的基本关系开始。设 \( f \) 是一个权为 \( k \)、级为 \( N \) 的模形式，其傅里叶展开为： \[ f(z) = \sum_ {n=0}^{\infty} a_ n e^{2\pi i n z}. \] 对应的L函数定义为狄利克雷级数： \[ L(f, s) = \sum_ {n=1}^{\infty} \frac{a_ n}{n^s}, \] 这个级数在 \(\Re(s) > \frac{k}{2} + 1\) 的区域内绝对收敛。 接下来，我们引入一个关键工具：完整L函数。通过添加伽马因子，我们定义： \[ \Lambda(f, s) = N^{s/2} (2\pi)^{-s} \Gamma(s) L(f, s). \] 这个完整L函数满足函数方程： \[ \Lambda(f, s) = \varepsilon \Lambda(f, k - s), \] 其中 \(\varepsilon = \pm 1\) 是f的根数。这个方程使得L函数可以解析延拓到整个复平面。 现在进入核心概念：特殊值。我们关注L函数在整数点 \( s = m \) 的值，其中 \( m \) 是满足 \( 1 \leq m \leq k-1 \) 的整数。这些点被称为临界点。 为什么这些点特殊？因为函数方程在这些点附近呈现出对称性。当我们在临界点计算L函数值时，这些值往往包含深刻的算术信息。 一个重要结果是：对于权为 \( k \) 的全纯尖点形式 \( f \)，其L函数在临界点的值 \( L(f, m) \) 是超越数，但它们满足特定的代数关系。更精确地说，这些值与周期积分有关。 具体来说，考虑周期积分： \[ r^+(f) = \int_ 0^{i\infty} f(z) z^{m-1} dz,\quad r^-(f) = \int_ 0^{i\infty} f(z) z^{m-2} dz. \] 这些积分值与L函数的特殊值通过以下关系式联系： \[ L(f, m) = \frac{(2\pi)^m}{\Gamma(m)} \frac{r^{\pm}(f)}{\langle f, f \rangle}, \] 其中 \(\langle f, f \rangle\) 是Petersson内积。 这些特殊值的算术意义非常深刻。它们与模形式的算术性质紧密相关，比如： 当 \( f \) 是来自椭圆曲线的模形式时，\( L(f, 1) \) 与椭圆曲线的有理点群有关 当 \( f \) 是权为2的模形式时，\( L(f, 1) \) 的消没与非消没对应着丰富的算术现象 一个著名的例子是伯奇-斯温纳顿-戴尔猜想，它预测椭圆曲线的L函数在中心点 \( s=1 \) 的零点阶数等于该椭圆曲线的有理点群的秩。这展示了特殊值在数论中的核心地位。 最后，我们提到一个关键技术：对于尖点形式，L函数的特殊值可以通过 Rankin-Selberg 方法精确计算，这涉及到将 \( |f(z)|^2 \) 与艾森斯坦级数相乘后积分，从而得到特殊值的显式表达式。