遍历理论中的随机矩阵乘积 基本定义 遍历理论中的随机矩阵乘积研究的是由随机选择的矩阵连续相乘构成的动力系统。设 \(\{A_ 1, A_ 2, A_ 3, ...\}\) 是一个随机矩阵序列，其中每个矩阵 \(A_ n\) 从一个概率分布中独立同分布地抽取。这个随机乘积序列定义为： \(S_ n = A_ n A_ {n-1} \cdots A_ 1\)。 系统的“状态”可以看作是矩阵乘积 \(S_ n\) 在投影空间（例如，单位球面或格拉斯曼流形）上的作用。核心问题是研究当 \(n \to \infty\) 时，这个随机乘积的渐近行为。 核心问题：最大李亚普诺夫指数 随机矩阵乘积理论中最基本且重要的概念是 最大李亚普诺夫指数 。对于一个初始向量 \(v \ne 0\)，最大李亚普诺夫指数 \(\lambda_ 1\) 定义为极限： \(\lambda_ 1 = \lim_ {n \to \infty} \frac{1}{n} \log \|S_ n v\|\)（几乎必然存在）。 这个指数描述了随机乘积作用下向量长度指数增长的平均速率。它的存在性由奥塞列德乘性遍历定理保证，该定理是经典遍历定理在矩阵乘法群作用下的推广。 弗斯滕伯格-基斯特森定理 这是一个奠基性的结果，它描述了李亚普诺夫指数的行为。设 \(G\) 是矩阵乘积所生成的群。如果 \(G\) 是 强不可约的 （即不存在有限个真线性子空间的并集在 \(G\) 下不变）且包含一个矩阵其模不同于其他特征值的模（ 扎里普性条件 ），那么最大李亚普诺夫指数 \(\lambda_ 1\) 是正的，并且对于几乎所有初始向量 \(v\)，上述极限都存在且相同。这保证了随机乘积的指数级增长行为是典型的。 次阶指数与振荡定理 除了最大李亚普诺夫指数 \(\lambda_ 1\)，随机矩阵乘积通常还有一系列李亚普诺夫指数 \(\lambda_ 1 \ge \lambda_ 2 \ge ... \ge \lambda_ d\)（其中 \(d\) 是矩阵的维数）。这些指数描述了在不同维度上体积元素的平均指数收缩或扩张速率。 振荡定理 指出，在满足一定条件下（如强不可约性和扎里普性），这些李亚普诺夫指数是 简并的 ，即它们都是不同的：\(\lambda_ 1 > \lambda_ 2 > ... > \lambda_ d\)。这表明随机乘积在作用过程中会产生一个随机的、渐近确定的标志（即特征子空间的渐近方向）。 与动力系统和遍历理论的联系 随机矩阵乘积可以嵌入到一个更大的** skew-product** 动力系统中。这个系统的基座是驱动矩阵选择的概率空间（例如，一个符号动力系统），而纤维是矩阵作用的线性空间（如投影空间）。系统的演化由基座的平移以及纤维上对应的矩阵作用共同决定。在这个框架下，李亚普诺夫指数的存在性可以转化为这个 skew-product 系统的遍历性。此外，该系统在投影空间上存在唯一的 平稳测度 （或称Furstenberg测度），该测度在随机矩阵的作用下是不变的，并且编码了随机乘积的渐近方向信息。 大偏差原理与刚性 对于随机矩阵乘积，其范数增长速率 \(\frac{1}{n} \log \|S_ n\|\) 满足 大偏差原理 。这意味着，该速率偏离其均值（即最大李亚普诺夫指数）的概率以指数速度衰减。大偏差原理的速率函数包含了系统更深层次的统计信息。关于 刚性 ，在随机矩阵乘积的背景下，它可能指在某些特定条件下（例如，矩阵元取自一个有限集），系统的李亚普诺夫指数谱是“刚性”的，即它由生成元的代数性质所决定，并且对概率分布的微小扰动不敏感。 应用与前沿 随机矩阵乘积理论在多个领域有深刻应用，包括： 安德森局域化 （在无序系统中解释电子态）、 随机薛定谔算子 的谱理论、 非阿贝尔遍历理论 （研究群在齐次空间上的随机作用）以及 数论 （如连分数展开的统计性质）。当前的研究前沿包括研究非独立（如马尔可夫或平稳过程驱动的）矩阵乘积、具有奇性或退化情形的矩阵乘积，以及探索其与自由概率论、几何群论等领域的联系。