模形式的Petersson内积 首先，我们回顾一个更基础的概念： 内积 。在二维或三维的欧几里得空间中，两个向量的点积（一种内积）可以衡量它们的“相似性”以及它们之间的夹角。更一般地，在一个函数空间中，我们也可以定义内积，用来衡量两个函数的“相似性”。对于定义在实数区间上的函数，一个常见的内积是 ∫ f(x)g(x) dx。模形式是定义在复上半平面上的全纯函数，并且满足特定的对称性。为了衡量两个模形式之间的“相似性”，我们需要为它们定义一种内积。 然而，直接将欧几里得空间的内积概念搬到模形式上会遇到问题。模形式满足“权为k”的对称性，即 f((az+b)/(cz+d)) = (cz+d)^k f(z)。如果我们简单地在复上半平面上对两个权为k的模形式 f 和 g 做积分 ∫ f(z) g(z) dxdy（其中 z=x+iy），这个积分会因为模形式的对称性而发散（趋于无穷大）。这是因为复上半平面在模变换群（如SL(2,Z)）作用下的基本区域虽然体积有限，但直接积分会导致问题。 为了解决这个发散问题，数学家马克斯·彼得松引入了 Petersson内积 。其核心思想是进行一个加权，并选择一个合适的积分区域。对于两个权为k的模形式 f 和 g（它们必须属于同一个同余子群Γ的模形式空间），Petersson内积定义为： <f, g> = ∫_ F f(z) \overline{g(z)} y^k (dxdy)/y² 这里，F是模群（或同余子群）的基本区域，z=x+iy，y^k 是权重因子，而除以y² (即 dxdy/y²) 是双曲度量下的体积元。这个特定的体积元在模变换下是保持不变的，这是定义成功的关键。 这个定义中的各个部分协同工作： 共轭项 \overline{g(z)} ： 因为模形式是复值函数，内积需要包含一个函数的共轭来保证正定性。 权重因子 y^k ： 这个因子与模形式本身的变换性质 (cz+d)^k 相抵消，使得被积函数 f(z)\overline{g(z)}y^k 在模变换下成为一个“权为0”的函数（即不变函数），从而保证积分在整个基本区域上有定义。 不变体积元 dxdy/y² ： 这个度量在模变换下保持不变，意味着无论我们如何用模群元素变换基本区域，积分的值都是一样的。这确保了内积定义的合理性。 Petersson内积赋予了模形式空间一个希尔伯特空间的结构。在这个内积下， 艾森斯坦级数 和 尖点形式 是相互正交的。也就是说，任何一个模形式都可以唯一地分解为一个艾森斯坦级数（代表“平均”部分）和一个尖点形式（代表“震荡”部分）的和，并且这两部分是垂直的。进一步，所有尖点形式构成的空间在Petersson内积下也是一个希尔伯特空间。 Petersson内积的一个极其重要的应用是与 Hecke算子 的关系。Hecke算子是一组作用在模形式空间上的线性算子。一个关键结论是：在Petersson内积下，Hecke算子是 正规算子 （对于SL(2,Z)甚至是自伴算子）。这意味着模形式空间存在一组由Hecke算子的特征向量构成的标准正交基，即 Hecke特征形式 。这些特征形式对应的傅里叶系数具有非常好的数论性质（比如是乘性的），这正是模形式与数论问题（如费马大定理的证明）产生深刻联系的基础。