数学课程设计中的数学抽象能力培养 数学抽象能力是数学核心素养的关键组成部分，它指的是从具体的事物或情境中，抽取出共同的、本质的属性或规律，形成数学概念、模型或结构的能力。在课程设计中系统性地培养学生的数学抽象能力，是帮助学生从“学习数学”转向“用数学思维认识世界”的核心环节。 第一步：理解数学抽象的内涵与层次 首先，我们需要明确数学抽象是什么。它不是简单的“去掉具体细节”，而是一个有层次的思维过程。 弱抽象（概念形成式抽象） ：从具体实例中，找出共同特征，忽略非本质属性，从而形成概念。例如，从苹果、足球、太阳等具体物体中，抽象出“球体”的概念，忽略了颜色、材质、用途等属性，只保留“空间中到定点距离等于定长的点的集合”这一本质属性。 强抽象（关系建构式抽象） ：在已有概念的基础上，引入新的特征或关系，形成更为抽象的概念。例如，在“数”的概念基础上，引入“大小关系”，就抽象出“有序集”的概念；再引入“加法和乘法运算及其规律”，就抽象出“域”的概念。这是一个从已知到未知、从简单到复杂的建构过程。 在课程设计中，认识到这两种抽象方式，有助于我们设计不同层次的教学活动。 第二步：设计基于具体经验与实物操作的起点活动 抽象始于具体。课程设计的起点应是丰富的、可感知的数学活动。 低年级示例（数与运算） ：在学习“加法”时，不应直接给出“1+2=3”的符号算式。而应先让学生进行实物操作，如“先拿出1块积木，再拿出2块积木，合起来是几块？”学生通过反复操作不同物品（积木、小棒、糖果），从大量具体经验中，感受到“合并”、“增加”这一共同过程，为抽象出“加法”这一数学运算奠定基础。 高年级示例（函数概念） ：在学习“函数”概念前，可以让学生记录“一天中不同时间点与当时气温”的对应关系，或“正方形的边长与周长”的对应关系。通过观察表格、描点画图，学生首先感受到的是“一个量变化，另一个量也跟着变化”的具体现象。 第三步：引导比较、分类与概括，促进本质属性的剥离 在积累了具体经验后，课程设计需要引导学生进行思维加工。 比较与分类 ：让学生对比不同的具体实例，找出它们的相同点和不同点。例如，对比“买铅笔”和“行程问题”，虽然情境不同，但都蕴含“单价×数量=总价”或“速度×时间=路程”这一共同结构。通过分类，将具有相同数学结构的问题归为一类。 概括与表达 ：引导学生用自己语言描述所发现的共同点或规律。例如，从大量“合并”操作中，学生概括出“把两部分合起来，求总数”的规律。这时，数学语言开始从生活化语言向半数学化语言过渡。 第四步：引入数学符号与语言，实现形式化抽象 这是抽象过程的关键一跃，即用精确的数学符号和语言来表征之前概括的规律。 符号化 ：将前一步概括的规律用符号表示。例如，将“合并”操作抽象为加法符号“+”，将未知的“总数”用字母表示，从而写出表达式。在函数例子中，将变量关系用 y = f(x) 来表示。 下定义 ：基于剥离出的本质属性，给出概念的准确定义。例如，给出“加法是求两个数之和的运算”的定义。这个过程是将内化的理解外化为精确的数学表述。 构建模型 ：将实际问题情境中的数量关系，抽象成一个纯粹的数学结构（方程、函数、图形等）。例如，将“行程问题”抽象为 s = vt 这个数学模型。 第五步：在抽象概念之间建立联系，形成知识网络 抽象能力的培养不止于形成孤立的概念，更要建立概念间的联系，形成更高层次的抽象结构。 概念图/思维导图 ：鼓励学生绘制概念图，将新抽象出的概念与已有概念（如加法与减法、函数与方程）联系起来，看清它们之间的逻辑关系（逆运算、包含、推广等）。 变式练习与应用 ：设计需要运用抽象概念解决新问题的情境。这些问题不应是简单的模仿，而应能促使学生辨析概念的本质。例如，学习了“长方形面积”公式后，让学生计算不规则图形（由几个长方形组合而成）的面积，这需要学生抽象出“分割与拼补”的数学思想。 第六步：反思抽象过程，强化元认知能力 课程设计的最后环节是引导学生反思整个抽象过程，这能深化对概念的理解并提升后续的抽象能力。 提问引导 ：“我们是怎样从……想到……的？”“这个概念的背后，最关键的思想是什么？”“如果去掉某个条件，这个概念还成立吗？” 撰写数学日志 ：让学生记录自己对一个概念从具体认识到抽象理解的全过程，梳理思维路径。 通过以上六个步骤的循序渐进设计，数学课程能够有效地引导学生在“具体体验—比较概括—符号化—系统化—反思”的循环中，逐步发展和深化其数学抽象能力。