\*不变子空间问题\* 不变子空间问题是泛函分析中的一个著名问题，其核心是：对于一个给定的巴拿赫空间（或希尔伯特空间）上的有界线性算子 \( T \)，是否存在一个非平凡的不变子空间？即，是否存在一个闭子空间 \( M \subset X \)，满足 \( M \neq \{0\} \)，\( M \neq X \)，且 \( T(M) \subseteq M \)？ 1. 基本概念：子空间与不变性 子空间 ：首先，在一个向量空间 \( X \) 中，一个子集 \( M \) 如果对于加法和数乘是封闭的（即 \( x, y \in M, \alpha \in \mathbb{C} \) 蕴含 \( x+y \in M \) 和 \( \alpha x \in M \)），则 \( M \) 称为 \( X \) 的 子空间 。在泛函分析中，我们通常关心 闭子空间 ，即该子空间在 \( X \) 的拓扑下是闭集。闭性保证了极限运算在子空间内是封闭的，这对于分析至关重要。 不变性 ：设 \( T: X \to X \) 是一个线性算子。如果对于子空间 \( M \) 中的每一个向量 \( x \)，其像 \( T(x) \) 仍然在 \( M \) 中，即 \( T(M) \subset M \)，那么我们称 \( M \) 是算子 \( T \) 的一个 不变子空间 。 2. 平凡的不变子空间与问题的提出 对于任何算子 \( T \)，总存在两个“平凡”的不变子空间：整个空间 \( X \) 本身和零子空间 \( \{0\} \)。 不变子空间问题 的核心是探究：对于无穷维巴拿赫空间（或希尔伯特空间）上的每一个有界线性算子 \( T \)，是否 必定存在 非平凡的（即既不是 \( \{0\} \) 也不是 \( X \) 的）闭不变子空间？ 在有限维空间中，答案是肯定的。根据线性代数的基本定理，每个线性算子都至少有一个特征向量（在复数域上），该特征向量张成的一维子空间就是一个非平凡的不变子空间。然而，在无穷维空间中，算子可能没有特征值（例如，移位算子），这使得问题变得极其复杂和深刻。 3. 已知的重要结果与反例 该问题吸引了众多数学家，并催生了许多重要成果，但最终的答案是否定的。 可解情形 ： 紧算子 ：对于希尔伯特空间上的非零紧算子， 冯·诺依曼-阿伦斯（von Neumann-Aronszajn）定理 指出其必存在非平凡的不变子空间。这一结果后来被N.阿伦斯和J.P.威廉姆斯推广到巴拿赫空间。 正规算子 ：希尔伯特空间上的正规算子（满足 \( T^ T = TT^ \)）拥有丰富的谱理论，其谱定理明确地给出了大量的不变子空间（例如，对应于谱集的谱投影空间）。 多项式紧算子 ：如果一个算子 \( T \) 满足某个非零多项式 \( p \) 使得 \( p(T) \) 是紧算子，那么它也存在非平凡的不变子空间。 反例的突破 ： 问题的转折点在于构造反例，即构造一个没有非平凡不变子空间的算子。 恩弗洛（P. Enflo, 1975/1987） 和 里德（C. Read, 1984） 分别独立地（恩弗洛的构造更早但发表较晚）在 巴拿赫空间 上构造出了这样的算子。里德的构造相对更简洁。 关键点在于，这些反例是在 一般的巴拿赫空间 上构造的。这自然引出一个问题：在性质更好的 希尔伯特空间 上，是否每个有界算子都有非平凡不变子空间？ 4. 希尔伯特空间上的情形与最新进展 希尔伯特空间上的不变子空间问题至今 仍未解决 ，是泛函分析中一个著名的开放问题。 人们普遍猜测答案是肯定的，即希尔伯特空间上的每个有界线性算子都有非平凡不变子空间，但目前尚未得到证明。 近年来，该问题的研究也与算子理论、复分析等其他数学分支产生了深刻联系，但离最终解决仍有距离。不变子空间问题因此成为了区分巴拿赫空间与希尔伯特空间深刻差异的试金石之一。