马尔可夫链的谱理论 基本概念回顾与扩展 马尔可夫链的谱理论是研究马尔可夫链转移算子的谱性质与其动力学行为（如收敛速度、混合时间）之间关系的理论。考虑一个在有限状态空间 \( S = \{1, 2, \dots, n\} \) 上的不可约、非周期马尔可夫链，其转移矩阵为 \( P \)。该矩阵可视为作用在概率向量空间 \( \mathbb{R}^n \) 上的线性算子（转移算子）。谱理论的核心是分析 \( P \) 的特征值（即谱）如何影响链的长期行为。 转移算子的谱分解 在不可约、非周期的情况下，Perron-Frobenius 定理保证 \( P \) 有唯一最大特征值 \( \lambda_ 1 = 1 \)，对应平稳分布 \( \pi \)。其余特征值 \( \lambda_ 2, \dots, \lambda_ n \) 满足 \( |\lambda_ i| \leq 1 \)。谱理论通过研究这些特征值的模长和幅角来刻画链的收敛性：若所有非1特征值满足 \( |\lambda_ i| < 1 \)，则链以指数速度收敛到平稳分布；若存在 \( |\lambda_ i| = 1 \) 但 \( \lambda_ i \neq 1 \)，则可能出现周期性或慢混合。 谱隙与混合时间 定义谱隙为 \( \gamma = 1 - \max\{ |\lambda_ i| : \lambda_ i \neq 1 \} \)。谱隙 \( \gamma > 0 \) 时，链的混合时间（即分布接近平稳分布所需时间）的上界为 \( O(\gamma^{-1} \log(1/\pi_ {\min})) \)，其中 \( \pi_ {\min} \) 是平稳分布的最小分量。谱隙越大，混合越快。例如，在随机游走中，谱隙与图的展开性密切相关。 特征值的几何与代数重数 特征值的重数影响链的精细行为。若特征值 \( \lambda = 1 \) 的代数重数大于几何重数，可能意味着链非不可约（有多个闭集）。在遍历理论中，我们通常关注不可约链，此时 \( \lambda = 1 \) 的几何重数为1，确保平稳分布唯一。 可逆链的谱对称性 若链关于平稳分布 \( \pi \) 可逆（即 \( \pi_ i P_ {ij} = \pi_ j P_ {ji} \)），则转移算子在加权内积空间 \( \langle f, g \rangle_ \pi = \sum_ i f(i)g(i)\pi_ i \) 下自伴。此时特征值均为实数，且谱分解更简洁，收敛速度可由特征值差距直接控制。 应用与扩展 谱理论可用于分析马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法的效率，或研究复杂网络上的随机过程。在无限状态空间或连续时间链中，谱理论推广为研究转移算子的谱半径和本质谱，此时需用泛函分析工具（如紧算子理论）。