随机变量的分位数回归 我们首先回顾经典线性回归。它的目标是估计条件期望 E[ Y|X=x ]，即给定自变量X的取值，因变量Y的平均值。这描述了在X的条件下，Y的分布中心位置。 然而，只关注中心位置（均值）可能丢失重要信息。现实中，我们可能更关心：对于低收入人群（X较小），其消费（Y）的分布如何？此时，我们不仅想知道平均消费，还想了解消费水平较低（例如，处于条件分布低分位数）的那部分人的情况。分位数回归应运而生，它的核心思想是估计 条件分位数 ，而不仅仅是条件期望。 具体地，对于一个给定的概率水平 τ (0<τ<1)，条件τ分位数函数 Q_ Y(τ|X=x) 定义为：给定X=x时，Y的累积条件分布函数 F_ Y(y|X=x) 的τ分位数。即，P(Y ≤ Q_ Y(τ|X=x) | X=x) = τ。这表示，在X=x的条件下，Y的值有τ的概率小于等于该分位数。 那么如何估计这个条件分位数函数呢？我们通过最小化一个不对称的损失函数来实现。回忆一下，样本中位数是使绝对偏差和最小的估计量。分位数回归是这一思想的推广。对于τ，我们定义 检查函数 ρ_ τ(u) = u(τ - I(u<0))，其中I(·)是指示函数。可以验证，当u>0时，ρ_ τ(u) = τu；当u<0时，ρ_ τ(u) = (τ-1)u。这个函数对正负偏差给予了不对称的权重。 假设条件分位数函数是线性的：Q_ Y(τ|X=x) = xᵀβ(τ)。参数β(τ)的估计通过最小化以下目标函数得到：∑ ρ_ τ(y_ i - x_ iᵀβ)。这个最小化问题没有解析解，但可以转化为一个线性规划问题，有高效的算法求解。 与普通最小二乘回归只得到一组系数（描述X对Y条件均值的影响）不同，分位数回归可以在不同的τ（如0.1, 0.5, 0.9）下分别进行估计，得到一系列系数向量β(τ)。这使我们能够分析自变量X对因变量Y整个条件分布的不同位置（尾部、中心）的差异化影响。例如，X的系数在τ=0.9时很大，在τ=0.1时很小，说明X主要影响Y条件分布的上尾部。 分位数回归的优点包括：对误差项没有强分布假设，更稳健于异常值；能捕捉分布的全面特征；对于异方差数据，其估计比OLS更有效。它广泛应用于经济学、生态学、医学等领域，用于研究变量间关系的异质性。