二次型的自守L函数的特殊值

1. 二次型的自守L函数是朗兰兹纲领中一类重要的L函数，它关联于一个二次型对应的自守形式。特殊值指的是该L函数在整数点（如s=1, s=0等）的取值，这些值往往包含深刻的算术信息，例如与类数、正则化周期等不变量相关。

2. 具体地，设f是一个与二次型Q对应的权为k的模形式，其自守L函数L(f,s)由狄利克雷级数定义。特殊值研究通常关注临界点（即L函数函数方程中对称点左侧的整数），例如对于权k的模形式，临界点为s=1,2,...,k-1。在这些点，L(f,s)的值可表示为代数数乘以一个超越因子（如π的幂和周期积分）。

3. 一个经典例子是权2模形式对应的L函数在s=1处的值。伯奇-斯温纳顿-戴尔猜想（推广到模形式）预测L(f,1)与椭圆曲线的有理点群结构相关——若L(f,1)≠0，则对应椭圆曲线的有理点群有限；若L(f,1)=0，则点群无限。这体现了特殊值对算术几何的直接影响。

4. 计算特殊值时，常使用模形式的积分表示。例如，通过将L(f,s)表示为f与艾森斯坦级的积分，再利用解析延拓得到特殊点的值。对于二次型对应的Theta级数，特殊值还可能关联于二次型的表示数（即二次型表示整数的个数），这通过史密斯-米尔诺公式等工具与模形式理论交织。

5. 特殊值的重要性还体现在它们满足德尔igne猜想的变形（即特殊值的超越性质），以及在大纲领中与p进L函数的关系。例如，通过插值特殊值构造p进L函数，可进一步研究p进表示的性质。这一领域仍是当前数论研究的核心问题之一。