博赫纳定理 博赫纳定理是调和分析和傅里叶分析中的一个基本结果，它将正定函数与有限博雷尔测度的傅里叶变换联系起来。为了理解这个定理，我们需要一步步建立相关概念。 第一步：理解正定函数 首先，我们定义正定函数。考虑一个局部紧阿贝尔群 \( G \)（例如实数轴 \( \mathbb{R} \) 或圆周 \( \mathbb{T} \)）。一个函数 \( \phi: G \to \mathbb{C} \) 称为 正定函数 ，如果对于任意有限个点 \( x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n \in G \) 和任意复数 \( c_ 1, c_ 2, \dots, c_ n \in \mathbb{C} \)，以下不等式恒成立： \[ \sum_ {i=1}^n \sum_ {j=1}^n c_ i \overline{c_ j} \phi(x_ i - x_ j) \geq 0. \] 这个条件等价于要求对任意的 \( x_ 1, \dots, x_ n \)，由元素 \( a_ {ij} = \phi(x_ i - x_ j) \) 构成的 \( n \times n \) 矩阵是半正定的。直观上，这意味着函数 \( \phi \) 在某种意义上是“非负”的。一个简单的例子是函数 \( \phi(x) = e^{ix} \) 在 \( \mathbb{R} \) 上不是正定的，但函数 \( \phi(x) = e^{-x^2} \) 是正定的。 第二步：回顾傅里叶变换 在实数轴 \( \mathbb{R} \) 上，一个有限博雷尔测度 \( \mu \) 的傅里叶变换定义为： \[ \hat{\mu}(\xi) = \int_ {\mathbb{R}} e^{-2\pi i x \xi} d\mu(x). \] 这个变换将测度 \( \mu \) 转化为一个定义在对偶群 \( \hat{G} \)（对于 \( \mathbb{R} \)，其对偶群也是 \( \mathbb{R} \)）上的函数 \( \hat{\mu} \)。如果测度 \( \mu \) 是正的（即对任何博雷尔集 \( E \) 有 \( \mu(E) \geq 0 \)），那么其傅里叶变换 \( \hat{\mu} \) 是一个连续的正定函数。 第三步：博赫纳定理的陈述 博赫纳定理的核心结论是，上述过程的逆命题也成立。定理的经典形式（在 \( \mathbb{R}^n \) 上）陈述如下： 设 \( \phi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{C} \) 是一个连续函数。那么，\( \phi \) 是正定函数的 充分必要条件 是：存在 \( \mathbb{R}^n \) 上的一个有限正博雷尔测度 \( \mu \)，使得对每一个 \( \xi \in \mathbb{R}^n \)，有 \[ \phi(\xi) = \hat{\mu}(\xi) = \int_ {\mathbb{R}^n} e^{-2\pi i x \cdot \xi} d\mu(x). \] 换言之，连续正定函数恰好就是有限正测度的傅里叶变换。这个测度 \( \mu \) 是由函数 \( \phi \) 唯一决定的。 第四步：定理的意义与重要性 博赫纳定理的重要性在于它建立了一个深刻的对应关系： 代数/函数性质 （正定性）对应于 测度论/积分表示 （正测度的傅里叶变换）。 这个对应使得我们可以用正定函数来研究正测度，反之亦然。它在概率论（特征函数是正定的）、量子力学以及偏微分方程的研究中都有根本性的应用。例如，在概率论中，一个分布的特征函数就是其概率测度的傅里叶变换，而博赫纳定理保证了正定函数（满足 \( \phi(0)=1 \) 且连续）必然是一个概率测度的特征函数。