圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续六）
在之前的讨论中，我们深入分析了圆的渐开线与渐伸线在曲率、弧长参数和几何变换方面的联系。现在，我们将进一步探讨二者在测地曲率和法曲率框架下的统一描述，以及如何通过标架场（Frenet标架） 的演化来揭示它们的内在对称性。这一部分将结合微分几何的基本工具，如活动标架法和结构方程，来深化理解。
1. 测地曲率与法曲率的角色
（1）曲线的局部几何分类
在曲面上，任意一条曲线 \(\gamma(s)\) 的曲率向量可分解为两个分量：
- 法曲率 \(\kappa_n\)：反映曲线在曲面法方向上的弯曲程度，与曲面的形状直接相关。
- 测地曲率 \(\kappa_g\)：反映曲线在曲面切平面上的弯曲程度，衡量曲线偏离测地线的程度。
对于圆的渐开线（在平面上）和渐伸线（在圆的切平面上），由于它们均位于欧几里得平面或可展曲面上，其法曲率 \(\kappa_n = 0\)，总曲率 \(\kappa\) 完全由测地曲率 \(\kappa_g\) 贡献。
（2）渐开线的测地曲率
设圆的渐开线方程为：
\[\vec{r}(t) = (a(\cos t + t \sin t), a(\sin t - t \cos t)) \]
其弧长参数 \(s = \frac{1}{2} a t^2\)（从起点起算）。通过计算曲率 \(\kappa(t) = \frac{1}{a t}\)，由于曲线在平面上，测地曲率 \(\kappa_g = \kappa\)。这表明渐开线的弯曲程度随参数 \(t\) 增大而减小，且其方向由 Frenet 标架的副法向量决定。
（3）渐伸线的测地曲率
圆的渐伸线是渐开线的逆过程，其曲率 \(\kappa(s) = \frac{1}{\sqrt{a^2 - s^2}}\)（以弧长为参数）。在圆的切平面上展开后，渐伸线同样具有 \(\kappa_g = \kappa\)。关键点在于：
- 渐开线和渐伸线在局部都是平面曲线，因此它们的几何性质完全由测地曲率描述。
- 二者通过弧长参数互换和曲率倒数关系相联系，即 \(\kappa_{\text{渐开线}} \cdot \kappa_{\text{渐伸线}} = \frac{1}{a^2}\)（在对应点处）。
2. Frenet 标架的演化与对称性
（1）Frenet 标架的定义
对于任意正则曲线 \(\gamma(s)\)，Frenet 标架由三个单位向量场构成：
- 切向量 \(\vec{T} = \gamma'(s)\)
- 法向量 \(\vec{N} = \frac{\vec{T}'}{\kappa}\)
- 副法向量 \(\vec{B} = \vec{T} \times \vec{N}\)
标架满足 Frenet 公式：
\[\begin{aligned} \vec{T}' &= \kappa \vec{N} \\ \vec{N}' &= -\kappa \vec{T} + \tau \vec{B} \\ \vec{B}' &= -\tau \vec{N} \end{aligned} \]
其中 \(\tau\) 为挠率。对于平面曲线，\(\tau = 0\)。
（2）渐开线的 Frenet 标架
对于圆的渐开线，标架演化如下：
- \(\vec{T}\) 方向始终与渐开线的切线一致。
- \(\vec{N}\) 指向曲线凹侧，由于 \(\tau = 0\)，标架在平面内旋转。
- 曲率 \(\kappa = \frac{1}{a t}\) 随 \(t\) 增大而衰减，导致标架旋转速率逐渐减慢。
（3）渐伸线的 Frenet 标架
渐伸线的标架演化与渐开线形成对偶关系：
- 在对应点（如渐开线上参数 \(t\) 与渐伸线上弧长 \(s = a t\) 的点），二者的 \(\vec{T}\) 方向相同，但 \(\vec{N}\) 方向相反。
- 渐伸线的曲率 \(\kappa = \frac{1}{\sqrt{a^2 - s^2}}\) 随 \(s\) 增大而增大，标架旋转速率加快。
（4）标架场的几何解释
通过活动标架法，我们可以将渐开线和渐伸线视为同一标架场在不同参数化下的轨迹：
- 渐开线是标架沿切方向匀速运动时，法向量端点的轨迹。
- 渐伸线是标架沿法方向匀速运动时，切向量端点的轨迹。
这种对称性反映了曲线与它的渐屈线（evolute）之间的对偶关系，即渐开线的渐屈线是原圆，而圆的渐伸线是渐开线。
3. 结构方程与可积条件
在微分几何中，结构方程描述了标架场的微分关系。对于平面曲线，结构方程简化为：
\[d\vec{T} = \kappa \vec{N} ds, \quad d\vec{N} = -\kappa \vec{T} ds \]
- 渐开线和渐伸线共享同一组结构方程，但初始条件和参数化不同。
- 可积条件要求 \(\kappa(s)\) 满足一定的光滑性条件，二者均满足这些条件，体现了微分几何中的存在性与唯一性定理。
4. 应用与推广
- 齿轮设计：渐开线齿轮的啮合原理依赖于渐开线的等距性质和标架场的稳定性。
- 路径规划：在机器人学中，渐开线和渐伸线的标架演化模型可用于生成平滑轨迹。
- 高维推广：在三维空间中，渐开线与渐伸线的概念可推广到可展曲面上的测地线族，此时需考虑挠率 \(\tau\) 的影响。
总结
本讲通过测地曲率、Frenet 标架和结构方程，揭示了圆的渐开线与渐伸线在微分几何框架下的深层联系。关键点在于：
- 二者均为平面曲线，曲率完全由测地曲率描述。
- 通过标架场的演化，它们呈现运动学对偶性。
- 结构方程提供了统一的数学描述，可推广至更复杂的几何场景。
这一理解不仅完善了对圆的相关曲线的认识，也为研究更一般的曲线族提供了方法论基础。