随机变量的变换的变量变换公式
我们首先回顾随机变量变换的基本问题。设 \(X\) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \(f_X(x))，并设 \( Y = g(X)\)，其中 \(g\) 是一个可微的单调函数。我们希望求出 \(Y\) 的概率密度函数 \(f_Y(y)\)。变量变换公式（change of variables formula）是解决这类问题的核心工具。
1. 单调变换的情形
假设 \(g\) 是严格单调的（单调递增或单调递减），且其反函数 \(g^{-1}\) 存在且可导。
- 单调递增时，对于任意 \(y\) 在 \(Y\) 的取值范围内，事件 \(Y \leq y\) 等价于 \(X \leq g^{-1}(y)\)。通过对分布函数求导，可得：
\[ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|. \]
由于单调递增时导数非负，绝对值符号可省略，但为统一形式，常保留绝对值。
- 单调递减时，事件 \(Y \leq y\) 等价于 \(X \geq g^{-1}(y)\)，求导后会出现一个负号，但绝对值符号确保密度非负：
\[ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|. \]
综合以上两种情况，单调变换的变量变换公式为：
\[f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|. \]
2. 多维随机变量的变换
设 \(\mathbf{X} = (X_1, \dots, X_n)\) 是联合密度为 \(f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})\) 的随机向量，变换 \(\mathbf{Y} = g(\mathbf{X})\) 是一个可逆的可微映射，其雅可比矩阵 \(J = \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}\) 非奇异。则 \(\mathbf{Y}\) 的联合密度为：
\[f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = f_{\mathbf{X}}(g^{-1}(\mathbf{y})) \cdot \left| \det \left( \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{y}} \right) \right|, \]
其中 \(\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{y}}\) 是反函数 \(g^{-1}\) 的雅可比矩阵，其行列式的绝对值称为雅可比行列式。
3. 非单调变换的处理
若 \(g\) 不是单调的（例如 \(Y = X^2\)），则需将 \(X\) 的取值区间划分为若干单调分支。对每个分支应用单调变换公式，并将结果叠加：
\[f_Y(y) = \sum_{i} f_X(x_i) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|_{x=x_i}, \]
其中 \(x_i\) 是方程 \(g(x) = y\) 的所有根。
4. 应用示例：线性变换与标准化
设 \(Y = aX + b\)（\(a \neq 0\)），则 \(g^{-1}(y) = (y-b)/a\)，雅可比因子为 \(|1/a|\)。代入公式：
\[f_Y(y) = f_X\left( \frac{y-b}{a} \right) \cdot \frac{1}{|a|}. \]
特别地，若 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，则 \(Y = aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)\)，与线性变换下正态分布的性质一致。
5. 与卷积、矩生成函数方法的关系
变量变换公式是处理变换的通用工具，而卷积是特定于加法 \(Z = X+Y\) 的变换方法。矩生成函数或特征函数则通过变换的矩特性间接求分布，适用于更复杂的线性组合或极限情况。变量变换公式的优势在于直接处理非线性变换，且适用于多维情形。
6. 注意事项与局限性
- 要求 \(g\) 可逆（或可分段处理），否则需用更一般的方法（如分布函数法）。
- 雅可比行列式在多维情况下需谨慎计算，确保坐标变换的相容性。
- 公式仅适用于连续型随机变量；离散型需直接计算概率质量函数。
通过以上步骤，变量变换公式将随机变量变换的分布问题转化为对原分布和变换函数的局部缩放因子的计算，成为概率论与统计中连接分布与变换的桥梁。