复变函数的无穷远点性质分析 复变函数在无穷远点的性质分析是研究函数在复平面无穷远处行为的重要工具。我将从基本概念出发，逐步深入讲解其定义、分析方法、分类及典型性质。 第一步：无穷远点的引入与几何表示 复球面（Riemann球面） ：在复平面中加入一个“无穷远点” \(\infty\)，通过球极投影将复平面映射到单位球面上。复平面上的点对应球面上除北极外的点，而北极对应\(\infty\)。 邻域定义 ：无穷远点的邻域定义为复平面上足够大的圆外区域，即 \(\{z \in \mathbb{C} : |z| > R\}\)，其中 \(R > 0\)。这使无穷远点成为可研究的对象。 第二步：函数在无穷远点的变换分析 变量替换 ：通过变换 \(w = \frac{1}{z}\)，将无穷远点映射到原点 \(w=0\)。定义函数 \(g(w) = f\left(\frac{1}{w}\right)\)，则 \(f(z)\) 在 \(z=\infty\) 的性质等价于 \(g(w)\) 在 \(w=0\) 的性质。 奇点分类 ：根据 \(g(w)\) 在 \(w=0\) 的奇点类型（可去奇点、极点、本性奇点），定义 \(f(z)\) 在无穷远点的对应类型： 若 \(g(w)\) 在 \(w=0\) 可去，则 \(f(z)\) 在 \(\infty\) 可去（例如常数函数）。 若 \(g(w)\) 在 \(w=0\) 有 \(m\) 阶极点，则 \(f(z)\) 在 \(\infty\) 有 \(m\) 阶极点（例如多项式 \(z^m\)）。 若 \(g(w)\) 在 \(w=0\) 有本性奇点，则 \(f(z)\) 在 \(\infty\) 有本性奇点（例如 \(e^z\)）。 第三步：典型性质与判别方法 极限行为 ： 可去奇点：\(\lim_ {z \to \infty} f(z)\) 存在有限。 极点：\(\lim_ {z \to \infty} f(z) = \infty\)。 本性奇点：极限不存在且行为复杂（如震荡发散）。 洛朗级数展开 ：在无穷远点邻域 \(|z| > R\) 展开 \(f(z)\) 为洛朗级数： 可去奇点：仅含非负幂次项。 \(m\) 阶极点：最高负幂次为 \(z^{-m}\)。 本性奇点：含无穷多个负幂次项。 残数计算 ：无穷远点处的残数定义为 \(\operatorname{Res}(f, \infty) = -\operatorname{Res}\left(g(w)/w^2, 0\right)\)，其中 \(g(w)=f(1/w)\)。全局残数和定理表明，所有有限奇点与无穷远点残数之和为零。 第四步：应用与特殊函数示例 整函数在无穷远点的性质 ： 若整函数在 \(\infty\) 可去，则为常数（Liouville定理）。 若在 \(\infty\) 有极点，则为多项式。 若在 \(\infty\) 有本性奇点，则为超越整函数（如 \(e^z\)）。 亚纯函数的全局结构 ：亚纯函数在复球面上仅有极点和可去奇点，其在无穷远点的性质决定其整体行为（例如有理函数在 \(\infty\) 处为极点或可去点）。 通过以上分析，无穷远点不再是抽象的“边界”，而是可通过变换和级数展开精确研究的对象。这一理论为复变函数的全局性质（如值分布、奇点结构）提供了统一框架。