数学中“二次型”理论的演进 第一步：二次型的起源与早期发展（17-18世纪） 二次型理论最初源于对二次曲线和二次曲面的分类问题。17世纪，笛卡尔创立解析几何后，数学家开始用代数方程研究几何图形。例如，形如 \( ax^2 + bxy + cy^2 \) 的二元二次型可表示圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）。费马、笛卡尔等通过变量替换简化方程，从而识别曲线类型，这隐含了二次型化简的思想。18世纪，欧拉和拉格朗日将问题扩展到数论领域。拉格朗日研究二次型 \( ax^2 + bxy + cy^2 \) 表示整数的能力（例如，哪些整数可表示为 \( x^2 + y^2 \)），并提出了“等价二次型”的概念：若两个二次型可通过线性变量替换相互转化，则它们等价。这为后续的代数与数论研究奠定了基础。 第二步：高斯的系统化与数论深化（19世纪初） 高斯在《算术研究》（1801年）中首次系统化二次型理论，聚焦于二元二次型 \( ax^2 + 2bxy + cy^2 \)（其中 \( a, b, c \) 为整数）。他严格定义了判别式 \( D = b^2 - ac \)，并证明等价二次型具有相同的判别式。高斯的核心贡献是提出了“类”（class）的概念：将判别式固定的二次型按等价关系分类，并证明类的数量有限（类数有限性）。他还发展了复合运算（composition of forms），使得同一判别式的二次型可构成群结构。这一工作将二次型理论与模运算、二次剩余紧密联系，成为代数数论的雏形。 第三步：高维推广与矩阵表示（19世纪中期） 19世纪中期，数学家将二次型扩展到多变量。凯莱和西尔维斯特引入矩阵工具，将 n 元二次型 \( \sum a_ {ij}x_ i x_ j \) 表示为对称矩阵 \( A \) 的形式 \( x^T A x \)。这简化了等价性分析：线性替换对应矩阵合同变换 \( A \rightarrow P^T A P \)（\( P \) 可逆）。西尔维斯特提出了惯性定理（1852年）：通过实系数线性替换，二次型可化为平方和 \( y_ 1^2 + \cdots + y_ p^2 - y_ {p+1}^2 - \cdots - y_ {r}^2 \)，其中正平方个数 \( p \)（正惯性指数）是唯一不变的。这揭示了二次型的实分类不依赖于具体化简方式，而是由秩和惯性指数决定。 第四步：几何与不变量理论的融合（19世纪末） 二次型理论在几何中广泛应用。克莱因的埃尔朗根纲领（1872年）强调，几何学由变换群下的不变量定义。例如，欧氏几何中的二次型 \( x^2 + y^2 + z^2 \) 在正交变换下保持不变；非欧几何则对应其他二次型。同时，不变量理论（戈丹、希尔伯特等）研究多项式在群作用下的不变量，二次型作为简单案例，其判别式、秩等是典型不变量。希尔伯特基定理（1888年）证明不变量环的有限生成性，深化了对二次型代数结构的理解。 第五步：现代发展与跨领域应用（20世纪至今） 20世纪，二次型理论在数论、代数拓扑和物理中取得突破。哈塞-闵可夫斯基局部-全局原理（1920年代）指出：有理数域上的二次型有解当且仅当在所有实数域及 p 进数域上有解，这链接了二次型与代数数域的局部域理论。塞尔、维特等发展二次型的代数理论，维特群（Witt group）成为研究域上二次型分类的重要工具。在拓扑中，二次型用于定义流形的相交形式（如庞加莱对偶），进而研究拓扑分类（如弗里德曼的4维流形工作）。此外，二次型在优化（正定二次规划）、物理（广义相对论中的度规张量）和密码学（格基密码）中均有核心应用。