素数定理
素数定理是数论中描述素数分布渐近行为的核心定理。它定量地回答了“小于给定数值的素数有多少个？”这一基本问题。
第一步：素数计数函数 π(x)
我们定义素数计数函数 π(x) 为不超过 x 的素数的个数。例如：
- π(10) = 4 （素数有 2, 3, 5, 7）
- π(20) = 8
这个函数是阶梯函数，只在素数处跳跃增加。
第二步：问题的提出与早期估计
随着 x 增大，π(x) 的行为如何？是否存在一个简单的函数来近似 π(x)？
数学家们很早就观察到，素数的分布似乎越来越“稀疏”。例如，勒让德和高斯都通过经验数据推测，π(x) 与 x / ln(x) 的比值在 x 增大时趋近于 1。这里 ln(x) 是 x 的自然对数。
第三步：素数定理的精确表述
素数定理的严格表述如下：
\[\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x / \ln(x)} = 1 \]
这等价于说 π(x) ~ x / ln(x)，符号 ~ 表示“渐近等价”，即当 x 趋于无穷大时，两者的比值趋于 1。
一个更精确的近似是积分对数函数 Li(x)：
\[\operatorname{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln(t)} \]
素数定理也可以表述为：
\[\pi(x) \sim \operatorname{Li}(x) \]
事实上，Li(x) 提供的近似比 x/ln(x) 更好。
第四步：定理的证明思路与黎曼ζ函数
素数定理的证明是解析数论的里程碑，它深刻地关联了素数分布和复分析。
- 欧拉乘积公式：莱昂哈德·欧拉发现，黎曼ζ函数 ζ(s)（当 Re(s) > 1 时定义为 Σ n⁻ˢ）可以表示为所有素数的无穷乘积：
\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1} \]
这个公式首次建立了ζ函数（一个分析对象）和素数（一个算术对象）之间的桥梁。
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黎曼的贡献：伯恩哈德·黎曼将ζ函数解析延拓到整个复平面（除了 s=1 这一个单极点），并研究了它的零点。他提出了著名的黎曼猜想：ζ函数的所有非平凡零点的实部都是 1/2。
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证明的关键：1896年，雅克·阿达马和夏尔-让·德拉瓦莱·普桑分别独立地证明了素数定理。他们的证明核心在于证明 ζ(s) 在直线 Re(s)=1 上没有零点。这个非零区域确保了可以通过复积分（如佩龙公式）将ζ函数的性质（特别是其极点和零点的位置）转化为关于素数计数函数 π(x) 的渐近信息。
第五步：误差项与黎曼猜想的意义
素数定理给出了主项，但存在误差项 E(x)：
\[\pi(x) = \operatorname{Li}(x) + E(x) \]
目前已知的最佳误差上界与黎曼ζ函数零点的分布紧密相关。
- 如果黎曼猜想成立，那么误差项会被很好地控制：|E(x)| 的增长不会比 √x ln(x) 快得多。
- 如果黎曼猜想不成立，误差项可能会更大。
因此，黎曼猜想本质上是对素数分布“随机性”的一种极致刻画，它断言素数分布与其渐近公式 Li(x) 的偏差尽可能小。