仿射代数簇的态射
字数 2661 2025-11-04 08:34:13

仿射代数簇的态射

我们先从最基础的概念开始。仿射代数簇是代数几何中的基本研究对象，它是由多项式方程组的零点集定义的几何对象。例如，在二维平面中，方程 \(y - x^2 = 0\) 的解集就构成了一条抛物线，这是一个仿射代数簇。

现在，我们考虑两个仿射代数簇之间的关系。假设我们有两个仿射代数簇：

  • \(X \subseteq \mathbb{A}^m\)，由多项式环 \(k[x_1, \dots, x_m]\) 中的理想 \(I(X)\) 定义。
  • \(Y \subseteq \mathbb{A}^n\)，由多项式环 \(k[y_1, \dots, y_n]\) 中的理想 \(I(Y)\) 定义。

我们想研究从 \(X\) 到 \(Y\) 的“映射”。在代数几何中，我们关心的是那些由多项式规则定义的映射，这类映射被称为态射。

第一步：态射的定义

一个从 \(X\) 到 \(Y\) 的态射 \(\phi: X \to Y\) 是一个映射，它由 \(n\) 个多项式 \(f_1, \dots, f_n \in k[x_1, \dots, x_m]\) 给出，满足以下条件：

  1. 对于 \(X\) 中的任意一点 \(p = (a_1, \dots, a_m)\)，点 \(\phi(p) = (f_1(p), \dots, f_n(p))\) 必须落在 \(Y\) 中。也就是说，\(\phi(p) \in Y\)。
  2. 这些多项式 \(f_1, \dots, f_n\) 必须与 \(X\) 的定义相容。更精确地说，对于任何属于 \(I(Y)\) 的多项式 \(g \in k[y_1, \dots, y_n]\)，复合多项式 \(g(f_1, \dots, f_n)\) 必须属于 \(I(X)\)。这确保了映射 \(\phi\) 将 \(X\) 的点真正地送到 \(Y\) 的点上。

第二步：态射的坐标环表示

仿射代数簇 \(X\) 的几何性质完全由其坐标环 \(k[X] = k[x_1, \dots, x_m] / I(X)\) 所决定。坐标环中的元素可以看作是定义在 \(X\) 上的多项式函数。

一个态射 \(\phi: X \to Y\) 诱导出一个非常重要的代数结构：环同态 \(\phi^*: k[Y] \to k[X]\)。
这个同态 \(\phi^*\) 的定义如下：对于 \(k[Y]\) 中的任意一个函数 \(g\)（它代表 \(Y\) 上的一个多项式函数），我们定义 \(\phi^*(g) = g \circ \phi\)。也就是说，\(\phi^*(g)\) 是函数 \(g\) 与映射 \(\phi\) 的复合，其结果是一个定义在 \(X\) 上的函数。

这个对应关系是深刻的：范畴等价。这意味着：

  • 每一个从 \(X\) 到 \(Y\) 的态射 \(\phi\)，都唯一地诱导出一个从 \(k[Y]\) 到 \(k[X]\) 的 \(k\)-代数同态 \(\phi^*\)。
  • 反过来，每一个从 \(k[Y]\) 到 \(k[X]\) 的 \(k\)-代数同态 \(\psi\)，也唯一地诱导出一个从 \(X\) 到 \(Y\) 的态射 \(\phi\)，使得 \(\phi^* = \psi\)。

因此，研究仿射代数簇的态射，在代数上完全等价于研究其坐标环之间的 \(k\)-代数同态。这让我们可以将几何问题转化为更易于处理的代数问题。

第三步：态射的例子

让我们看一个具体的例子来加深理解。

  • 设 \(X = \mathbb{A}^1\)（仿射直线），其坐标环为 \(k[x]\)。
  • 设 \(Y\) 为抛物线，由方程 \(y - x^2 = 0\) 定义，即 \(Y = V(y - x^2) \subseteq \mathbb{A}^2\)。它的坐标环是 \(k[Y] = k[x, y] / (y - x^2) \cong k[x]\)，因为 \(y\) 可以被 \(x^2\) 替代。

考虑一个态射 \(\phi: \mathbb{A}^1 \to Y\)，定义为 \(\phi(t) = (t, t^2)\)。这里，多项式是 \(f_1(t) = t\) 和 \(f_2(t) = t^2\)。

  • 我们需要验证 \(\phi(t)\) 确实在 \(Y\) 上：将点坐标代入 \(Y\) 的方程，\(t^2 - t^2 = 0\)，成立。
  • 它诱导的环同态 \(\phi^*: k[Y] \to k[t]\) 是这样工作的：对于 \(k[Y]\) 中的生成元 \(x\) 和 \(y\)，我们有 \(\phi^*(x) = t\)，\(\phi^*(y) = t^2\)。这定义了一个完整的同态。

第四步：态射的性质

通过态射，我们可以定义仿射代数簇的一些重要几何性质：

  • 同构：如果存在态射 \(\phi: X \to Y\) 和 \(\psi: Y \to X\)，使得 \(\phi \circ \psi\) 和 \(\psi \circ \phi\) 都是恒等态射，那么我们称 \(X\) 和 \(Y\) 是同构的。在坐标环的层面，这等价于 \(k[X]\) 和 \(k[Y]\) 作为 \(k\)-代数是同构的。例如，仿射直线 \(\mathbb{A}^1\) 和抛物线 \(Y = V(y - x^2)\) 就是同构的。
  • 支配态射：如果一个态射 \(\phi: X \to Y\) 的像 \(\phi(X)\) 在 \(Y\) 中是扎里斯基稠密的（即它的闭包等于整个 \(Y\)），则称 \(\phi\) 是支配的。这等价于其诱导的环同态 \(\phi^*: k[Y] \to k[X]\) 是单射。这意味着 \(Y\) 的坐标环可以看作是 \(X\) 的坐标环的一个子环。
  • 有限态射：如果一个态射 \(\phi: X \to Y\) 使得 \(k[X]\) 通过 \(\phi^*\) 成为 \(k[Y]\) 上的有限模，则称 \(\phi\) 是有限的。有限态射具有很好的性质，例如它是闭映射（将闭集映为闭集）。

理解仿射代数簇的态射是研究更一般代数簇态射的基础，因为任意代数簇都可以由仿射开集粘合而成。

仿射代数簇的态射 我们先从最基础的概念开始。仿射代数簇是代数几何中的基本研究对象，它是由多项式方程组的零点集定义的几何对象。例如，在二维平面中，方程 \(y - x^2 = 0\) 的解集就构成了一条抛物线，这是一个仿射代数簇。 现在，我们考虑两个仿射代数簇之间的关系。假设我们有两个仿射代数簇： \(X \subseteq \mathbb{A}^m\)，由多项式环 \(k[ x_ 1, \dots, x_ m ]\) 中的理想 \(I(X)\) 定义。 \(Y \subseteq \mathbb{A}^n\)，由多项式环 \(k[ y_ 1, \dots, y_ n ]\) 中的理想 \(I(Y)\) 定义。 我们想研究从 \(X\) 到 \(Y\) 的“映射”。在代数几何中，我们关心的是那些由多项式规则定义的映射，这类映射被称为 态射 。 第一步：态射的定义 一个从 \(X\) 到 \(Y\) 的 态射 \(\phi: X \to Y\) 是一个映射，它由 \(n\) 个多项式 \(f_ 1, \dots, f_ n \in k[ x_ 1, \dots, x_ m ]\) 给出，满足以下条件： 对于 \(X\) 中的任意一点 \(p = (a_ 1, \dots, a_ m)\)，点 \(\phi(p) = (f_ 1(p), \dots, f_ n(p))\) 必须落在 \(Y\) 中。也就是说，\(\phi(p) \in Y\)。 这些多项式 \(f_ 1, \dots, f_ n\) 必须与 \(X\) 的定义相容。更精确地说，对于任何属于 \(I(Y)\) 的多项式 \(g \in k[ y_ 1, \dots, y_ n]\)，复合多项式 \(g(f_ 1, \dots, f_ n)\) 必须属于 \(I(X)\)。这确保了映射 \(\phi\) 将 \(X\) 的点真正地送到 \(Y\) 的点上。 第二步：态射的坐标环表示 仿射代数簇 \(X\) 的几何性质完全由其 坐标环 \(k[ X] = k[ x_ 1, \dots, x_ m ] / I(X)\) 所决定。坐标环中的元素可以看作是定义在 \(X\) 上的多项式函数。 一个态射 \(\phi: X \to Y\) 诱导出一个非常重要的代数结构： 环同态 \(\phi^ : k[ Y] \to k[ X ]\)。 这个同态 \(\phi^ \) 的定义如下：对于 \(k[ Y]\) 中的任意一个函数 \(g\)（它代表 \(Y\) 上的一个多项式函数），我们定义 \(\phi^ (g) = g \circ \phi\)。也就是说，\(\phi^ (g)\) 是函数 \(g\) 与映射 \(\phi\) 的复合，其结果是一个定义在 \(X\) 上的函数。 这个对应关系是深刻的： 范畴等价 。这意味着： 每一个从 \(X\) 到 \(Y\) 的态射 \(\phi\)，都唯一地诱导出一个从 \(k[ Y]\) 到 \(k[ X]\) 的 \(k\)-代数同态 \(\phi^* \)。 反过来，每一个从 \(k[ Y]\) 到 \(k[ X]\) 的 \(k\)-代数同态 \(\psi\)，也唯一地诱导出一个从 \(X\) 到 \(Y\) 的态射 \(\phi\)，使得 \(\phi^* = \psi\)。 因此，研究仿射代数簇的态射，在代数上完全等价于研究其坐标环之间的 \(k\)-代数同态。这让我们可以将几何问题转化为更易于处理的代数问题。 第三步：态射的例子 让我们看一个具体的例子来加深理解。 设 \(X = \mathbb{A}^1\)（仿射直线），其坐标环为 \(k[ x ]\)。 设 \(Y\) 为抛物线，由方程 \(y - x^2 = 0\) 定义，即 \(Y = V(y - x^2) \subseteq \mathbb{A}^2\)。它的坐标环是 \(k[ Y] = k[ x, y] / (y - x^2) \cong k[ x ]\)，因为 \(y\) 可以被 \(x^2\) 替代。 考虑一个态射 \(\phi: \mathbb{A}^1 \to Y\)，定义为 \(\phi(t) = (t, t^2)\)。这里，多项式是 \(f_ 1(t) = t\) 和 \(f_ 2(t) = t^2\)。 我们需要验证 \(\phi(t)\) 确实在 \(Y\) 上：将点坐标代入 \(Y\) 的方程，\(t^2 - t^2 = 0\)，成立。 它诱导的环同态 \(\phi^ : k[ Y] \to k[ t]\) 是这样工作的：对于 \(k[ Y]\) 中的生成元 \(x\) 和 \(y\)，我们有 \(\phi^ (x) = t\)，\(\phi^* (y) = t^2\)。这定义了一个完整的同态。 第四步：态射的性质 通过态射，我们可以定义仿射代数簇的一些重要几何性质： 同构 ：如果存在态射 \(\phi: X \to Y\) 和 \(\psi: Y \to X\)，使得 \(\phi \circ \psi\) 和 \(\psi \circ \phi\) 都是恒等态射，那么我们称 \(X\) 和 \(Y\) 是 同构 的。在坐标环的层面，这等价于 \(k[ X]\) 和 \(k[ Y ]\) 作为 \(k\)-代数是同构的。例如，仿射直线 \(\mathbb{A}^1\) 和抛物线 \(Y = V(y - x^2)\) 就是同构的。 支配态射 ：如果一个态射 \(\phi: X \to Y\) 的像 \(\phi(X)\) 在 \(Y\) 中是 扎里斯基稠密 的（即它的闭包等于整个 \(Y\)），则称 \(\phi\) 是支配的。这等价于其诱导的环同态 \(\phi^* : k[ Y] \to k[ X]\) 是 单射 。这意味着 \(Y\) 的坐标环可以看作是 \(X\) 的坐标环的一个子环。 有限态射 ：如果一个态射 \(\phi: X \to Y\) 使得 \(k[ X]\) 通过 \(\phi^* \) 成为 \(k[ Y]\) 上的 有限模 ，则称 \(\phi\) 是有限的。有限态射具有很好的性质，例如它是 闭映射 （将闭集映为闭集）。 理解仿射代数簇的态射是研究更一般代数簇态射的基础，因为任意代数簇都可以由仿射开集粘合而成。