随机变量的变换的概率母函数方法 概率母函数是描述离散随机变量概率分布的重要工具，尤其适用于非负整数值随机变量。当我们需要研究随机变量经过变换后的分布时，概率母函数方法能简化计算过程。下面逐步介绍这一方法的核心思想与应用步骤。 1. 概率母函数的定义 设 \( X \) 为非负整数值随机变量，其概率质量函数为 \( P(X=k) = p_ k \ (k=0,1,2,\dots) \)。概率母函数定义为： \[ G_ X(s) = \mathbb{E}[ s^X] = \sum_ {k=0}^{\infty} p_ k s^k, \quad |s| \leq 1. \] 性质： \( G_ X(1) = 1 \)（概率归一性）； \( P(X=k) = \frac{G_ X^{(k)}(0)}{k !} \)（泰勒展开系数对应概率）； 各阶矩可通过导数计算：\( \mathbb{E}[ X] = G_ X'(1) \)。 2. 线性变换的概率母函数 若 \( Y = aX + b \)（其中 \( a, b \) 为常数，且 \( a \) 为正整数），则： \[ G_ Y(s) = \mathbb{E}[ s^{aX+b}] = s^b \cdot \mathbb{E}[ (s^a)^X] = s^b G_ X(s^a). \] 例 ：设 \( X \sim \text{Poisson}(\lambda) \)，其概率母函数为 \( G_ X(s) = e^{\lambda(s-1)} \)。若 \( Y = 2X + 3 \)，则 \[ G_ Y(s) = s^3 e^{\lambda(s^2 - 1)}. \] 3. 独立随机变量和的概率母函数 若 \( X_ 1, X_ 2, \dots, X_ n \) 相互独立，且 \( S_ n = X_ 1 + X_ 2 + \dots + X_ n \)，则： \[ G_ {S_ n}(s) = \prod_ {i=1}^n G_ {X_ i}(s). \] 例 ：设 \( X_ i \sim \text{Bernoulli}(p) \)，则 \( G_ {X_ i}(s) = 1-p + ps \)。对于 \( S_ n \sim \text{Binomial}(n,p) \)，有 \[ G_ {S_ n}(s) = (1-p + ps)^n. \] 4. 随机个随机变量和的概率母函数（复合分布） 设 \( N \) 为非负整数值随机变量（如计数变量），且 \( \{X_ i\} \) 为独立同分布随机变量，与 \( N \) 独立。令 \( S = \sum_ {i=1}^N X_ i \)，则： \[ G_ S(s) = G_ N(G_ X(s)). \] 推导 ： \[ G_ S(s) = \mathbb{E}[ s^S] = \mathbb{E}[ \mathbb{E}[ s^S \mid N]] = \mathbb{E}[ (G_ X(s))^N] = G_ N(G_ X(s)). \] 例 ：设 \( N \sim \text{Poisson}(\lambda) \)，\( X_ i \sim \text{Bernoulli}(p) \)，则 \[ G_ S(s) = e^{\lambda[ (1-p+ps) - 1 ]} = e^{\lambda p (s-1)}, \] 即 \( S \sim \text{Poisson}(\lambda p) \)。 5. 应用：解决复杂变换问题 对于非线性变换（如 \( Y = X^2 \)），概率母函数可能不直接适用（需依赖 \( X \) 的分布特性）。但若变换可拆解为线性组合或复合结构，概率母函数仍能简化分析。 总结 ：概率母函数方法通过生成函数的代数运算，将随机变量变换的分布问题转化为函数运算，尤其适用于 离散随机变量的线性组合、独立和、复合模型 等场景。