可测函数序列的依测度收敛
字数 3260 2025-11-04 08:34:13

可测函数序列的依测度收敛

好的，我们开始学习一个新的重要概念：可测函数序列的依测度收敛。这个概念在实变函数和概率论中都非常关键，它描述了一种比“处处收敛”更弱，但比“几乎处处收敛”在某些方面更有用的收敛方式。

第一步：理解“收敛”在测度论中的困境

我们已经知道，对于一个可测函数序列 \(\{f_n\}\)，我们有两种主要的收敛方式：

  1. 处处收敛：对于定义域中的每一点 \(x\)，序列 \(f_n(x)\) 都收敛到极限函数 \(f(x)\)。
  2. 几乎处处收敛：除去一个零测集之外，对于所有点 \(x\)，序列 \(f_n(x)\) 都收敛到 \(f(x)\)。

然而，这两种收敛性有时“太强”了。我们可能不关心函数在个别点上的行为，而更关心函数的“整体”行为。特别是，当处理与积分相关的问题时，函数的微小变化（即使发生在很多点上，但只要这些点的总测度很小）不应该对积分结果产生大的影响。因此，我们需要一种对函数在“小”的集合上的剧烈变化不敏感的收敛概念。这就是“依测度收敛”的动机。

第二步：定义“依测度收敛”

让我们来精确地定义它。

设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，\(\{f_n\}\) 和 \(f\) 都是定义在 \(X\) 上的可测函数（可以是实值或复值）。

我们称序列 \(\{f_n\}\) 依测度收敛 到 \(f\)，如果对于任意的 \(\epsilon > 0\)，都有：

\[\lim_{n \to \infty} \mu(\{ x \in X : |f_n(x) - f(x)| \geq \epsilon \}) = 0 \]

让我们来逐字逐句地理解这个定义：

  • 集合 \(\{ x \in X : |f_n(x) - f(x)| \geq \epsilon \}\)：这个集合包含了所有使得第 \(n\) 个函数 \(f_n\) 与极限函数 \(f\) 的差距不小于 \(\epsilon\) 的点 \(x\)。你可以把它想象成函数 \(f_n\) 和 \(f\) 的“偏差过大”的点集。
  • 这个集合的测度 \(\mu(\cdots)\)：这个测度值衡量了函数 \(f_n\) 在多大程度上“偏离”了极限函数 \(f\)。测度越大，说明 \(f_n\) 在越多的点上与 \(f\) 相差很大。
  • 极限 \(\lim_{n \to \infty} \mu(\cdots) = 0\)：这意味着，随着序号 \(n\) 不断增大，函数 \(f_n\) 与 \(f\) 的“偏差过大”的点集，其测度会越来越小，最终趋向于零。

一个直观的比喻：
想象你用一系列照片 \(\{f_n\}\) 去逼近一张目标照片 \(f\)。“依测度收敛”不要求照片的每一个像素点都完美对齐。它只要求，对于任何你设定的容差标准 \(\epsilon\)（比如颜色差异），当 \(n\) 足够大时，照片 \(f_n\) 上颜色差异超过 \(\epsilon\) 的“区域”（用测度 \(\mu\) 来衡量）可以变得任意小。这个区域可以到处移动，但只要它的“总面积”趋近于零，我们就说序列依测度收敛。

第三步：与几乎处处收敛的比较

这是一个核心问题：依测度收敛和几乎处处收敛有什么关系？

  1. 几乎处处收敛推不出依测度收敛：在一个测度无限的测度空间（比如整个实数轴 \(\mathbb{R}\) 配上勒贝格测度）上，几乎处处收敛不能保证依测度收敛。
  • 反例：令 \(f_n(x) = \mathbf{1}_{(n, n+1)}(x)\)（即在区间 \((n, n+1)\) 上为1，否则为0）。这个序列在每一点 \(x\) 上都最终收敛到0（因为随着 \(n\) 增大，区间 \((n, n+1)\) 会“移动”到无穷远处），所以它是几乎处处收敛到0的。但是，对于 \(\epsilon = 0.5\)，集合 \(\{x: |f_n(x) - 0| \geq 0.5\} = (n, n+1)\)，其勒贝格测度恒为1，并不趋于0。所以它不是依测度收敛的。
  1. 依测度收敛也推不出几乎处处收敛：即使序列依测度收敛，它也可能在任何一个点上都不收敛。
  • 反例（“移动的脉冲”）：在区间 \([0, 1]\) 上定义函数序列。将区间等分，让一个高度为1的“脉冲”在这些小区间上依次移动。例如：
  • \(f_1 = \mathbf{1}_{[0,1]}\)
  • \(f_2 = \mathbf{1}_{[0,1/2]}\), \(f_3 = \mathbf{1}_{[1/2,1]}\)
  • \(f_4 = \mathbf{1}_{[0,1/4]}\), \(f_5 = \mathbf{1}_{[1/4,1/2]}\), ... 以此类推。
    对于任何 \(\epsilon > 0\)，包含脉冲的区间长度随着 \(n\) 增大而趋于0，所以序列依测度收敛到0。但是，对于任何一个固定的点 \(x \in [0,1]\)，序列 \(f_n(x)\) 会在0和1之间无限次地振荡，因此不收敛。
  1. 在有限测度空间上的关系（非常重要的定理）：
    如果测度空间是有限的（即 \(\mu(X) < \infty\)），那么我们有如下结论：
  • 如果 \(f_n \to f\) 几乎处处，那么 \(f_n \to f\) 依测度。
    这个定理非常重要，它说明了在“有限”的背景下，几乎处处收敛是一种比依测度收敛更强的收敛性。它的证明通常需要用到我们已经学过的叶戈罗夫定理，该定理指出在有限测度集上，几乎处处收敛是“几乎”一致收敛的。

第四步：依测度收敛的基本性质

依测度收敛具有一些良好的性质，使其在分析中非常有用。

  1. 极限的唯一性（在几乎处处的意义下）：
    如果序列 \(\{f_n\}\) 同时依测度收敛到 \(f\) 和 \(g\)，那么 \(f = g\) 几乎处处。也就是说，依测度收敛的极限函数在几乎处处意义下是唯一的。

  2. 收敛序列的子序列性质（里斯定理）：
    这是一个关键定理：如果 \(f_n \to f\) 依测度，那么存在一个子序列 \(\{f_{n_k}\}\) 使得 \(f_{n_k} \to f\) 几乎处处。
    这个定理在本质上沟通了依测度收敛和几乎处处收敛。它告诉我们，虽然整个序列可能不是几乎处处收敛的，但我们总可以“挑出”一个子序列，使其是几乎处处收敛的。这在对依测度收敛的序列进行极限交换等操作时非常有用。

  3. 线性性：
    如果 \(f_n \to f\) 依测度，\(g_n \to g\) 依测度，\(\alpha, \beta\) 是常数，那么 \(\alpha f_n + \beta g_n \to \alpha f + \beta g\) 依测度。这表明依测度收敛对线性运算是封闭的。

  4. 与积分的关系（常与勒贝格控制收敛定理比较）：
    仅凭依测度收敛本身，一般不能保证积分的收敛性（即 \(\int f_n \to \int f\)）。但是，如果加上一致可积性等条件，就可以得到积分收敛的结论。这比控制收敛定理要求的“几乎处处收敛”条件在某些情况下更容易验证。

总结

可测函数序列的依测度收敛是一个核心概念，它：

  • 定义：关注函数值与极限值偏差超过某阈值的点集的测度是否趋于零。
  • 动机：提供了对函数在小测度集上变化不敏感的一种收敛性，比处处收敛和几乎处处收敛更弱、更稳定。
  • 关系：与几乎处处收敛互不蕴含，但在有限测度空间上，几乎处处收敛可推出依测度收敛。
  • 性质：极限几乎处处唯一，且总存在几乎处处收敛的子序列（里斯定理），对线性运算封闭。

这个概念是理解 \(L^p\) 空间中的收敛（依范数收敛）以及其他更高级分析主题的重要基础。

可测函数序列的依测度收敛 好的，我们开始学习一个新的重要概念： 可测函数序列的依测度收敛 。这个概念在实变函数和概率论中都非常关键，它描述了一种比“处处收敛”更弱，但比“几乎处处收敛”在某些方面更有用的收敛方式。 第一步：理解“收敛”在测度论中的困境 我们已经知道，对于一个可测函数序列 \(\{f_ n\}\)，我们有两种主要的收敛方式： 处处收敛 ：对于定义域中的每一点 \(x\)，序列 \(f_ n(x)\) 都收敛到极限函数 \(f(x)\)。 几乎处处收敛 ：除去一个零测集之外，对于所有点 \(x\)，序列 \(f_ n(x)\) 都收敛到 \(f(x)\)。 然而，这两种收敛性有时“太强”了。我们可能不关心函数在个别点上的行为，而更关心函数的“整体”行为。特别是，当处理与积分相关的问题时，函数的微小变化（即使发生在很多点上，但只要这些点的总测度很小）不应该对积分结果产生大的影响。因此，我们需要一种对函数在“小”的集合上的剧烈变化不敏感的收敛概念。这就是“依测度收敛”的动机。 第二步：定义“依测度收敛” 让我们来精确地定义它。 设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，\(\{f_ n\}\) 和 \(f\) 都是定义在 \(X\) 上的可测函数（可以是实值或复值）。 我们称序列 \(\{f_ n\}\) 依测度收敛 到 \(f\)，如果对于任意的 \(\epsilon > 0\)，都有： \[ \lim_ {n \to \infty} \mu(\{ x \in X : |f_ n(x) - f(x)| \geq \epsilon \}) = 0 \] 让我们来逐字逐句地理解这个定义： 集合 \(\{ x \in X : |f_ n(x) - f(x)| \geq \epsilon \}\) ：这个集合包含了所有使得第 \(n\) 个函数 \(f_ n\) 与极限函数 \(f\) 的差距 不小于 \(\epsilon\) 的点 \(x\)。你可以把它想象成函数 \(f_ n\) 和 \(f\) 的“偏差过大”的点集。 这个集合的测度 \(\mu(\cdots)\) ：这个测度值衡量了函数 \(f_ n\) 在多大程度上“偏离”了极限函数 \(f\)。测度越大，说明 \(f_ n\) 在越多的点上与 \(f\) 相差很大。 极限 \(\lim_ {n \to \infty} \mu(\cdots) = 0\) ：这意味着，随着序号 \(n\) 不断增大，函数 \(f_ n\) 与 \(f\) 的“偏差过大”的点集，其测度会越来越小，最终趋向于零。 一个直观的比喻： 想象你用一系列照片 \(\{f_ n\}\) 去逼近一张目标照片 \(f\)。“依测度收敛”不要求照片的每一个像素点都完美对齐。它只要求，对于任何你设定的容差标准 \(\epsilon\)（比如颜色差异），当 \(n\) 足够大时，照片 \(f_ n\) 上颜色差异超过 \(\epsilon\) 的“区域”（用测度 \(\mu\) 来衡量）可以变得任意小。这个区域可以到处移动，但只要它的“总面积”趋近于零，我们就说序列依测度收敛。 第三步：与几乎处处收敛的比较 这是一个核心问题：依测度收敛和几乎处处收敛有什么关系？ 几乎处处收敛推不出依测度收敛 ：在一个测度无限的测度空间（比如整个实数轴 \(\mathbb{R}\) 配上勒贝格测度）上，几乎处处收敛不能保证依测度收敛。 反例 ：令 \(f_ n(x) = \mathbf{1}_ {(n, n+1)}(x)\)（即在区间 \((n, n+1)\) 上为1，否则为0）。这个序列在每一点 \(x\) 上都最终收敛到0（因为随着 \(n\) 增大，区间 \((n, n+1)\) 会“移动”到无穷远处），所以它是几乎处处收敛到0的。但是，对于 \(\epsilon = 0.5\)，集合 \(\{x: |f_ n(x) - 0| \geq 0.5\} = (n, n+1)\)，其勒贝格测度恒为1，并不趋于0。所以它 不 是依测度收敛的。 依测度收敛也推不出几乎处处收敛 ：即使序列依测度收敛，它也可能在任何一个点上都不收敛。 反例（“移动的脉冲”） ：在区间 \([ 0, 1 ]\) 上定义函数序列。将区间等分，让一个高度为1的“脉冲”在这些小区间上依次移动。例如： \(f_ 1 = \mathbf{1}_ {[ 0,1 ]}\) \(f_ 2 = \mathbf{1} {[ 0,1/2]}\), \(f_ 3 = \mathbf{1} {[ 1/2,1 ]}\) \(f_ 4 = \mathbf{1} {[ 0,1/4]}\), \(f_ 5 = \mathbf{1} {[ 1/4,1/2 ]}\), ... 以此类推。 对于任何 \(\epsilon > 0\)，包含脉冲的区间长度随着 \(n\) 增大而趋于0，所以序列依测度收敛到0。但是，对于任何一个固定的点 \(x \in [ 0,1]\)，序列 \(f_ n(x)\) 会在0和1之间无限次地振荡，因此 不收敛 。 在有限测度空间上的关系（非常重要的定理） ： 如果测度空间是 有限的 （即 \(\mu(X) < \infty\)），那么我们有如下结论： 如果 \(f_ n \to f\) 几乎处处，那么 \(f_ n \to f\) 依测度。 这个定理非常重要，它说明了在“有限”的背景下，几乎处处收敛是一种比依测度收敛 更强 的收敛性。它的证明通常需要用到我们已经学过的 叶戈罗夫定理 ，该定理指出在有限测度集上，几乎处处收敛是“几乎”一致收敛的。 第四步：依测度收敛的基本性质 依测度收敛具有一些良好的性质，使其在分析中非常有用。 极限的唯一性（在几乎处处的意义下） ： 如果序列 \(\{f_ n\}\) 同时依测度收敛到 \(f\) 和 \(g\)，那么 \(f = g\) 几乎处处 。也就是说，依测度收敛的极限函数在几乎处处意义下是唯一的。 收敛序列的子序列性质（里斯定理） ： 这是一个关键定理：如果 \(f_ n \to f\) 依测度，那么 存在 一个子序列 \(\{f_ {n_ k}\}\) 使得 \(f_ {n_ k} \to f\) 几乎处处 。 这个定理在本质上沟通了依测度收敛和几乎处处收敛。它告诉我们，虽然整个序列可能不是几乎处处收敛的，但我们总可以“挑出”一个子序列，使其是几乎处处收敛的。这在对依测度收敛的序列进行极限交换等操作时非常有用。 线性性 ： 如果 \(f_ n \to f\) 依测度，\(g_ n \to g\) 依测度，\(\alpha, \beta\) 是常数，那么 \(\alpha f_ n + \beta g_ n \to \alpha f + \beta g\) 依测度。这表明依测度收敛对线性运算是封闭的。 与积分的关系（常与勒贝格控制收敛定理比较） ： 仅凭依测度收敛本身，一般不能保证积分的收敛性（即 \(\int f_ n \to \int f\)）。但是，如果加上一致可积性等条件，就可以得到积分收敛的结论。这比控制收敛定理要求的“几乎处处收敛”条件在某些情况下更容易验证。 总结 可测函数序列的依测度收敛 是一个核心概念，它： 定义 ：关注函数值与极限值偏差超过某阈值的点集的测度是否趋于零。 动机 ：提供了对函数在小测度集上变化不敏感的一种收敛性，比处处收敛和几乎处处收敛更弱、更稳定。 关系 ：与几乎处处收敛互不蕴含，但在有限测度空间上，几乎处处收敛可推出依测度收敛。 性质 ：极限几乎处处唯一，且总存在几乎处处收敛的子序列（里斯定理），对线性运算封闭。 这个概念是理解 \(L^p\) 空间中的收敛（依范数收敛）以及其他更高级分析主题的重要基础。