复变函数的辐角原理与零点计数 我们先从辐角原理的基本概念开始。设 \( f(z) \) 在简单闭曲线 \( C \) 上及其内部（除可能的极点外）是亚纯的，且在 \( C \) 上无零点和极点。辐角原理指出： \[ \frac{1}{2\pi i} \oint_ C \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz = N - P \] 其中 \( N \) 是 \( f(z) \) 在 \( C \) 内部的零点个数（按重数计），\( P \) 是极点个数（按阶数计）。该公式的推导基于对 \( f(z) \) 的局部行为分析：若 \( f(z) = (z - z_ 0)^m g(z) \)（\( g(z_ 0) \neq 0 \)），则 \( f'(z)/f(z) = m/(z - z_ 0) + g'(z)/g(z) \)，积分后贡献 \( m \)；极点情形类似（负贡献）。 几何解释 ：左端积分表示 \( f(z) \) 沿 \( C \) 的辐角变化除以 \( 2\pi \)，即 \( \Delta_ C \arg f(z) / 2\pi \)。当 \( z \) 沿 \( C \) 逆时针绕行一周，\( f(z) \) 在复平面上绕原点的圈数即为 \( N - P \)。这一解释将解析性质与拓扑绕数联系起来，是辐角原理的核心直观。 应用：零点计数与方程解的存在性 辐角原理的直接应用是计算函数在区域内的零点个数。例如，验证 \( f(z) = z^5 + 3z + 1 \) 在 \( |z| < 1 \) 内的零点数：比较 \( f(z) \) 与 \( g(z) = 3z \) 在 \( |z| = 1 \) 上的辐角变化，利用儒歇定理（辐角原理的推论）可证明恰有一个零点。 推广：加权零点计数与幅角变化 若考虑加权函数 \( h(z) \) 解析，则推广形式为： \[ \frac{1}{2\pi i} \oint_ C h(z) \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz = \sum h(z_ j) - \sum h(p_ k) \] 其中 \( z_ j, p_ k \) 分别为零点和极点。这用于计算零点函数的加权和，例如在特征值分布问题中。 与幅角原理的关联 幅角原理是辐角原理的特例（当 \( f(z) \) 解析时 \( P=0 \)），强调零点的拓扑计数。辐角原理通过包含极点项，扩展至亚纯函数，体现了零点与极点的对称性：两者均贡献辐角变化，但方向相反。 实际计算技巧 计算积分时，常利用参数化或留数定理。例如，若 \( f(z) \) 为有理函数，可直接求和留数；对于超越函数，可通过变形路径简化积分，或结合渐近分析估计辐角变化。 通过以上步骤，辐角原理从基本公式到几何解释，再至应用与推广，系统地揭示了复变函数零点与极点的全局分布性质。