索伯列夫空间中的嵌入定理 索伯列夫空间是描述函数及其（广义）导数具有某种可积性的函数空间。嵌入定理则精确地刻画了这些空间如何“嵌入”到其他函数空间（如连续函数空间或L^p空间）中，即一个索伯列夫空间中的函数在何种意义上可以视为另一个空间中的函数，并且这种对应关系是连续的。 第一步：理解嵌入的基本概念 在泛函分析中，一个赋范空间X“嵌入”到另一个赋范空间Y中，记作 X ↪ Y，意味着： 集合包含关系 ：X 是 Y 的一个子集（更准确地说，X 中的每个元素都可以自然地与 Y 中的一个元素等同起来）。 连续性 ：这个包含映射（从 X 到 Y 的恒等映射）是连续的。即，存在一个常数 C > 0，使得对于所有 u ∈ X，有 ||u||_ Y ≤ C ||u||_ X。 直观上，X ↪ Y 意味着，如果一个函数在 X 的范数意义下“小”，那么它在 Y 的范数意义下也“小”。或者说，X 中的收敛序列也会在 Y 中收敛。 第二步：回顾索伯列夫空间 W^{k,p}(Ω) 设 Ω 是 R^n 中的一个区域（通常是开集），k 是一个非负整数，p 满足 1 ≤ p ≤ ∞。 索伯列夫空间 W^{k,p}(Ω) 是由所有定义在 Ω 上的函数 u 组成的空间，使得 u 及其所有直到 k 阶的（广义）导数都属于 L^p(Ω)。其范数定义为： ||u|| {W^{k,p}(Ω)} = ( Σ {|α| ≤ k} ||D^α u||_ {L^p(Ω)}^p )^{1/p} （当 p < ∞ 时） 这里 α 是一个多重指标。 第三步：索伯列夫嵌入定理的核心内容 索伯列夫嵌入定理回答了一个基本问题：一个具有 k 阶 L^p 可积导数的函数，其本身（作为一个函数，而不是导数）具有怎样的正则性（光滑性）？答案取决于三个参数：空间的维数 n、导数的阶数 k 和可积指数 p。 定理主要分为以下几种情况： 情况一：kp > n 结论 ：W^{k,p}(Ω) ↪ C_ B(Ω)，即索伯列夫空间可以连续嵌入到有界连续函数空间。如果 Ω 具有“好”的边界（如李普希茨边界），则更进一步有 W^{k,p}(Ω) ↪ C(Ω̅)（嵌入到连续到边界上的函数空间）。 莫雷不等式 ：这是该情况下的关键不等式。存在常数 C（依赖于 k, p, n, Ω），使得对于所有 u ∈ W^{k,p}(Ω)，有： sup_ {x∈Ω} |u(x)| ≤ C ||u||_ {W^{k,p}(Ω)} 直观解释 ：当导数足够“强”（kp > n）时，函数本身必定是连续的。例如，在二维平面（n=2）上，只要有一阶导数属于 L^p 空间且 p>2（即 k=1, p>2 满足 1* p>2），函数就是连续的。 情况二：kp < n 结论 ：W^{k,p}(Ω) ↪ L^{p* }(Ω)，其中 p* 是索伯列夫共轭指数，定义为 p* = np / (n - kp)。 索伯列夫不等式 ：这是该情况下的关键不等式。存在常数 C，使得对于所有 u ∈ W^{k,p}(Ω)，有： ||u|| {L^{p* }(Ω)} ≤ C ||u|| {W^{k,p}(Ω)} 直观解释 ：当导数不够强（kp < n）时，函数本身可能不连续，但它一定属于一个比 L^p 更强的可积空间 L^{p* }（因为 p* > p）。这意味着函数在某种平均意义下具有更好的可积性。 情况三：kp = n 这是一个临界情况，结论更精细。 结论 ：如果 p=1, k=n，则 W^{n,1}(Ω) ↪ C(Ω̅)。 如果 p>1, kp=n，则 W^{k,p}(Ω) ↪ L^q(Ω) 对于任意 q < ∞ 都成立，但通常不嵌入到 L^∞(Ω)。 第四步：理解紧嵌入 除了连续嵌入，还有一个更强的概念： 紧嵌入 ，记作 X ↪↪ Y。它要求包含映射不仅是连续的，而且是紧的（即，将 X 中的有界集映射为 Y 中的相对紧集，即闭包是紧的集合）。 索伯列夫紧嵌入定理 ：在连续嵌入成立的条件下，如果区域 Ω 是有界的且具有“好”的边界（如李普希茨边界），那么许多上述的嵌入实际上是紧嵌入。 例如，如果 kp < n，则 W^{k,p}(Ω) ↪↪ L^q(Ω) 对于所有 1 ≤ q < p* 成立。 如果 kp > n，则 W^{k,p}(Ω) ↪↪ C(Ω̅)。 重要性 ：紧嵌入是分析偏微分方程解的存在性的关键工具。它允许我们从一列有界序列中提取出在更强范数下收敛的子列。 总结 索伯列夫嵌入定理建立了一个清晰的“交易规则”：用函数的光滑性（导数阶数 k）和可积性（指数 p）来换取函数本身更好的连续性或可积性。这个定理是连接函数的光滑性（由导数刻画）和函数本身定性行为（如连续性、有界性）的桥梁，是现代偏微分方程理论和分析的基石之一。