数学课程设计中的数学问题表征与转换 好的，我们开始学习一个新的词条： 数学问题表征与转换 。这是数学课程设计中一个至关重要的方面，它关注学生如何理解、呈现和处理数学问题。 第一步：理解“问题表征”的基本概念 核心定义 ：问题表征是指个体在解决问题时，对问题信息进行理解、解释和内在呈现的方式。它不是问题本身，而是问题在解题者头脑中的样子。 一个简单的比喻 ：想象一个问题是一个未知的物体。不同的人可能会用手触摸、用眼睛看、或者用仪器测量来描述它。这些不同的“描述方式”就是不同的表征。一个人可能说“它是个冰冷的圆柱体”（触觉表征），另一个人可能说“它是个银色的罐子”（视觉表征）。虽然描述的是同一个物体，但侧重点和信息不同。 在数学中的体现 ：对于一个数学问题，学生可能会在头脑中形成： 语言表征 ：用文字复述或理解问题。例如，看到“2+3”，心里默念“二加三”。 符号表征 ：用数学符号和公式来呈现。这是数学中最常见的表征，如直接写出 2 + 3 。 图形表征 ：画出草图、示意图或函数图像来帮助理解。例如，用数轴上的跳跃来表示加法。 具体物/操作表征 ：用实物（如手指、计数器）或动作来模拟问题情境。 课程设计的首要目标是帮助学生意识到，同一个数学问题可以有多种表征形式，并且鼓励他们灵活运用这些形式。 第二步：认识不同表征的优劣与转换的必要性 仅仅知道有多种表征是不够的，学生需要理解为什么需要转换。 每种表征的局限性 ：一种表征可能只揭示了问题的某个侧面，有时甚至会带来困扰。 例子 ：问题：“一个长方形的长比宽多2米，面积是15平方米，求长和宽。” 语言表征 ：能理解关系，但难以直接计算。 符号表征 ：设宽为x米，则长为(x+2)米，方程为 x(x+2) = 15 。这直接将问题转化为可解的代数方程。 图形表征 ：画一个长方形，标出长和宽的关系。这非常直观，但求解精确值仍需回到代数方法。 转换的价值 ：问题表征转换就是指将问题从一种表征形式转变为另一种形式。成功的转换往往是将一个困难的问题转化为一个更容易解决的问题。 在上面的例子中，将 语言文字表征 转换为 代数符号表征 ，是解决问题的关键一步。这个过程就是一次重要的表征转换。 另一个经典例子：几何问题中，添加一条 辅助线 ，本质上是改变了问题的图形表征，从而揭示了隐藏的几何关系，使问题迎刃而解。 因此，课程设计要引导学生不满足于一种表征，而是主动尝试不同的表征，并寻找最有效、最简洁的转换路径。 第三步：在课程设计中融入表征与转换的策略 如何将“问题表征与转换”的培养落实到具体的课程和教学中呢？ 多表征呈现 ：在设计教学材料或提出问题时，有意识地同时使用文字、符号、图形、实物等多种方式呈现同一个数学概念或问题。例如，讲解函数时，必然同时呈现它的解析式、数据表和图像。 强调表征间的联系 ：明确地向学生指出不同表征之间的对应关系。比如，在函数图像上指出一个点，同时说明它在解析式和数据表中对应的数值是什么。 设计“表征转换”任务 ：这是训练的核心。可以设计专门的活动，例如： “画出来” ：给出一个文字应用题，要求学生画出线段图或示意图。 “写出来” ：给出一幅函数图像，要求学生写出大致的函数解析式或描述其变化趋势。 “编故事” ：给出一个数学方程（如 速度 × 时间 = 路程 ），让学生创设一个符合该方程的实际生活情境（语言表征）。 鼓励策略性选择 ：在学生尝试解决问题后，组织讨论：“你是如何思考这个问题的？”“你用了什么方法（画图、列方程）？”“为什么选择这种方法？” 这能促进学生元认知的发展，让他们反思自己选择和使用表征的过程。 第四步：深化理解——表征与数学核心素养 将“问题表征与转换”提升到更高层次，它与数学核心素养紧密相连。 数学建模 ：建模的本质就是一个复杂的表征转换过程：将 现实世界的情境（语言、实物表征） 转化为 数学模型（符号、图形表征） ，求解后再将数学结果 解释 回现实世界。这完整地体现了表征转换的循环。 数学抽象 ：从具体情境中抽象出数学关系，就是从一种表征（具体）转换到另一种更一般、更强大的表征（抽象符号）。 创造性思维 ：能够灵活地进行问题表征转换，是数学创造力的体现。它意味着能够打破思维定势，从新的角度审视问题。 总结 ：在数学课程设计中，重视“数学问题表征与转换”意味着不再将解决问题仅仅视为寻找正确答案，而是视为一个动态的、对问题进行多角度理解和形式化表达的过程。通过系统的教学设计，培养学生形成多样化的表征能力，并灵活地进行表征间的转换，这能极大地提升他们分析问题和解决问题的深度与灵活性。