复变函数的柯西-黎曼方程极坐标形式
复变函数的柯西-黎曼方程是判断函数可微性的核心条件。在笛卡尔坐标下，该方程表述为偏导数的关系。然而，当问题涉及圆、扇形或具有旋转对称性的区域时，极坐标形式更为自然和便捷。本词条将详细推导并解释柯西-黎曼方程的极坐标形式。
第一步：回顾笛卡尔坐标下的柯西-黎曼方程
设复变函数 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 在一点 \(z = x + iy\) 可微，则必须满足柯西-黎曼方程：
\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]
这是所有讨论的起点。
第二步：建立极坐标与笛卡尔坐标的关系
在复平面上，一点 \(z\) 的极坐标表示为 \(z = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)，其中 \(r = |z| \geq 0\) 是模长，\(\theta\) 是辐角。笛卡尔坐标与极坐标的转换关系为：
\[x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta \]
相应地，复变函数在极坐标下可写为 \(f(z) = u(r, \theta) + iv(r, \theta)\)，即实部 \(u\) 和虚部 \(v\) 现在被视为 \(r\) 和 \(\theta\) 的函数。
第三步：应用链式法则进行偏导变换
我们的目标是将笛卡尔坐标下的柯西-黎曼方程（涉及对 \(x, y\) 的偏导）转换为对 \(r, \theta\) 的偏导。这需要运用多元微积分中的链式法则。
首先，将对 \(x\) 的偏导转换为对 \(r\) 和 \(\theta\) 的偏导：
\[\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta} \]
由 \(r^2 = x^2 + y^2\) 和 \(\tan\theta = y/x\)（\(x \neq 0\)），可求得：
\[\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r} = \cos\theta, \quad \frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{y}{r^2} = -\frac{\sin\theta}{r} \]
因此：
\[\frac{\partial}{\partial x} = \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \]
类似地，将对 \(y\) 的偏导转换：
\[\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial \theta} \]
\[ \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} = \sin\theta, \quad \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{x}{r^2} = \frac{\cos\theta}{r} \]
因此：
\[\frac{\partial}{\partial y} = \sin\theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \]
第四步：推导极坐标形式的柯西-黎曼方程
现在将笛卡尔坐标下的柯西-黎曼方程中的偏导用上述算子替换。
第一个方程 \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\) 变为：
\[\cos\theta \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} = \sin\theta \frac{\partial v}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta} \]
第二个方程 \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\) 变为：
\[\sin\theta \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} = -\left( \cos\theta \frac{\partial v}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta} \right) = -\cos\theta \frac{\partial v}{\partial r} + \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta} \]
为了得到更简洁的形式，可以将上述两个方程分别乘以 \(\cos\theta\) 和 \(\sin\theta\) 后相加，以及乘以 \(-\sin\theta\) 和 \(\cos\theta\) 后相加，经过整理（此过程涉及线性组合消元），最终得到极坐标下的柯西-黎曼方程：
\[\boxed{\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta}}, \quad \boxed{\frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}} \]
第五步：解释方程的含义与应用
- 几何意义： 极坐标形式的柯西-黎曼方程揭示了函数在一点可微时，其沿径向（\(r\) 方向）的变化与沿角向（\(\theta\) 方向）的变化之间存在紧密的耦合关系。实部 \(u\) 的径向变化率等于虚部 \(v\) 的角向变化率除以 \(r\)；虚部 \(v\) 的径向变化率等于实部 \(u\) 的角向变化率除以 \(r\) 的负值。因子 \(1/r\) 的出现反映了极坐标系的尺度特性。
- 应用优势： 在处理圆形边界、环形区域或与角度密切相关的问题（如流体绕圆柱流动、电势分布等）时，使用极坐标形式可以极大地简化计算。例如，验证函数 \(f(z) = z^n = r^n e^{in\theta} = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\) 的可微性，利用极坐标形式只需进行简单的偏导计算即可验证其满足上述方程。
- 注意事项： 极坐标在原点 \(r=0\) 处没有定义，且辐角 \(\theta\) 具有多值性。因此，在应用极坐标形式时，需要确保函数在所讨论的区域（通常不包含原点）内是定义良好的。