圆的渐开线与渐伸线的曲率半径关系
圆的渐开线（involute）和渐屈线（evolute）的曲率半径关系是微分几何中的核心内容。下面从基本定义出发，逐步推导两者的曲率半径如何关联。
1. 圆的渐开线与渐屈线回顾
- 圆的渐开线：一条绷紧的绳子从圆周上解开时，端点轨迹形成的曲线。若圆的半径为 \(R\)，渐开线的参数方程为：
\[ x = R(\cos\theta + \theta\sin\theta), \quad y = R(\sin\theta - \theta\cos\theta) \]
其中 \(\theta\) 是展开角（绳子与原切点的夹角）。
- 圆的渐屈线：渐开线的曲率中心轨迹，即渐开线的渐屈线恰好是原圆本身。
2. 曲率半径的基本定义
平面曲线 \(\mathbf{r}(s)\)（弧长参数）的曲率半径 \(\rho\) 满足：
\[\rho = \frac{1}{|\kappa|}, \quad \kappa = \left\| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\| \]
其中 \(\mathbf{T}\) 是单位切向量。
3. 渐开线的曲率半径计算
对圆的渐开线参数方程（以 \(\theta\) 为参数）求导：
\[\mathbf{r}(\theta) = (R(\cos\theta + \theta\sin\theta), \, R(\sin\theta - \theta\cos\theta)) \]
一阶导（切向量）：
\[\mathbf{r}'(\theta) = (R\theta\cos\theta, \, R\theta\sin\theta) \]
弧长微分：
\[ds = \|\mathbf{r}'(\theta)\| d\theta = R\theta \, d\theta \quad (\text{因 } \|\mathbf{r}'(\theta)\| = R\theta) \]
单位切向量：
\[\mathbf{T} = \frac{\mathbf{r}'(\theta)}{\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = (\cos\theta, \sin\theta) \]
曲率：
\[\frac{d\mathbf{T}}{ds} = \frac{d\mathbf{T}/d\theta}{ds/d\theta} = \frac{(-\sin\theta, \cos\theta)}{R\theta} \]
曲率大小：
\[\kappa = \left\| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\| = \frac{1}{R\theta} \]
渐开线的曲率半径：
\[\rho_{\text{involute}} = R\theta \]
4. 渐屈线的曲率半径与渐开线的关系
- 渐屈线是渐开线的曲率中心轨迹。对任意曲线，渐屈线上一点到渐开线对应点的距离等于渐开线在该点的曲率半径。
- 对于圆的渐开线，曲率中心位于原圆的切点（渐屈线即圆本身）。
- 从渐开线上一点 \(P\) 到其曲率中心 \(C\)（在圆上）的距离为：
\[ |PC| = \rho_{\text{involute}} = R\theta \]
而圆的半径恒为 \(R\)，因此渐屈线（圆）的曲率半径为常数 \(R\)。
5. 一般结论
对任意平面曲线，若其渐屈线存在，则：
\[\rho_{\text{involute}} + \rho_{\text{evolute}} = \text{两点间的距离} \]
但在圆的特例中，渐屈线（圆）的曲率半径 \(R\) 远小于渐开线的曲率半径 \(R\theta\)（当 \(\theta>1\)），两者通过几何约束关联：渐开线曲率半径的增长量 \(d\rho/ds\) 恰好对应渐屈线的弯曲特性。具体地，渐开线曲率半径的变化率等于其与渐屈线之间的弧长微分关系。
6. 几何直观
- 渐开线从圆上展开时，曲率半径从 \(0\)（起始点）线性增大（\(\rho = R\theta\)）。
- 渐屈线（圆）的曲率半径恒定，说明圆的渐开线是“匀速展开”的曲线，其曲率变化完全由展开角驱动。
通过以上步骤，我们明确了圆的渐开线与渐屈线的曲率半径如何通过几何和微分关系相互制约。