圆的渐缩线与渐伸线的曲率关系 基本概念回顾 圆的渐缩线（evolute）是渐伸线（involute）的曲率中心轨迹。若渐伸线由圆上一点沿切线展开生成，则其渐缩线恰好是原圆本身。曲率描述曲线弯曲程度，定义为曲率半径的倒数（κ = 1/R），其中曲率半径R是曲率中心到曲线某点的距离。 渐伸线的曲率计算 设圆的半径为r，渐伸线参数方程为： \( x = r(\cos\theta + \theta\sin\theta) \), \( y = r(\sin\theta - \theta\cos\theta) \)。 通过微分几何公式计算曲率： \( \kappa = \frac{|x'y'' - y'x''|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} \)。 代入导数后可得渐伸线在参数θ处的曲率半径为 \( R = r\theta \)，曲率 \( \kappa = \frac{1}{r\theta} \)。 渐缩线的曲率作用 圆的渐缩线即原圆（半径r），其曲率恒为 \( \kappa_ c = \frac{1}{r} \)。渐伸线的曲率中心是渐缩线上对应点，因此渐伸线在θ处的曲率中心位于圆上，且该点与渐伸线起始点的圆弧长为 \( r\theta \)。 曲率演化规律 当渐伸线展开时（θ增大），其曲率半径R = rθ线性增长，曲率逐渐减小。渐缩线（圆）的恒定曲率作为渐伸线曲率的“源头”，始终通过几何关系控制渐伸线的弯曲变化。 微分几何意义 渐缩线与渐伸线满足：渐伸线上任意点的曲率中心轨迹是渐缩线，且渐伸线的曲率变化率由渐缩线的形状决定。对于圆而言，这一关系尤为简洁，因圆的渐缩线是自身，曲率传递为线性关系。