随机变量的变换的卷积公式 卷积公式是概率论中用于求解两个独立随机变量之和的概率分布的核心工具。下面我们逐步展开讲解。 1. 问题背景 设 \( X \) 和 \( Y \) 是两个 连续型随机变量 ，且相互独立。我们希望求出新随机变量 \[ Z = X + Y \] 的概率密度函数（PDF）\( f_ Z(z) \)。 卷积公式提供了直接计算 \( f_ Z(z) \) 的方法，而不必先求累积分布函数（CDF）。 2. 从分布函数推导 首先，\( Z \) 的累积分布函数为： \[ F_ Z(z) = P(Z \leq z) = P(X + Y \leq z) = \iint_ {x+y \leq z} f_ X(x) f_ Y(y) \, dx \, dy \] 由于 \( X \) 和 \( Y \) 独立，联合 PDF 是边缘 PDF 的乘积。 对 \( x \) 积分时，固定 \( y \)，则 \( x \leq z - y \)，于是： \[ F_ Z(z) = \int_ {-\infty}^{\infty} \left[ \int_ {-\infty}^{z-y} f_ X(x) \, dx \right] f_ Y(y) \, dy \] 内层积分是 \( F_ X(z-y) \)，所以： \[ F_ Z(z) = \int_ {-\infty}^{\infty} F_ X(z-y) f_ Y(y) \, dy \] 3. 对分布函数求导得密度函数 对 \( F_ Z(z) \) 求导（利用莱布尼茨积分法则）： \[ f_ Z(z) = \frac{d}{dz} \int_ {-\infty}^{\infty} F_ X(z-y) f_ Y(y) \, dy = \int_ {-\infty}^{\infty} \frac{d}{dz} F_ X(z-y) f_ Y(y) \, dy \] 注意 \( \frac{d}{dz} F_ X(z-y) = f_ X(z-y) \)，因此： \[ f_ Z(z) = \int_ {-\infty}^{\infty} f_ X(z-y) f_ Y(y) \, dy \] 这就是 卷积公式 。 对称地，交换 \( X \) 和 \( Y \) 的角色可得： \[ f_ Z(z) = \int_ {-\infty}^{\infty} f_ X(x) f_ Y(z-x) \, dx \] 4. 直观理解 卷积公式的本质是： 对于固定的 \( z \)，所有满足 \( x + y = z \) 的 \( (x, y) \) 都会对 \( Z \) 的密度有贡献。 通过对其中一个变量（如 \( y \)）遍历所有可能值，并保持 \( x = z - y \)，将对应的概率密度加权求和（积分）。 5. 离散情形的类比 若 \( X \) 和 \( Y \) 是 独立离散型随机变量 ，则 \( Z = X + Y \) 的概率质量函数（PMF）为： \[ P(Z = z) = \sum_ {k} P(X = k) P(Y = z - k) \] 这也称为离散卷积。 6. 应用示例 例 ：设 \( X \sim \text{Uniform}(0,1) \)，\( Y \sim \text{Uniform}(0,1) \)，且独立。求 \( Z = X + Y \) 的 PDF。 解： \[ f_ X(x) = f_ Y(y) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \] 由卷积公式： \[ f_ Z(z) = \int_ {-\infty}^{\infty} f_ X(z-y) f_ Y(y) \, dy \] 被积函数非零需满足 \( 0 \leq y \leq 1 \) 且 \( 0 \leq z-y \leq 1 \)，即 \( y \in [ \max(0, z-1), \min(1, z) ] \)。 当 \( 0 \leq z \leq 1 \)：积分区间为 \( y \in [ 0, z] \)，得 \( f_ Z(z) = z \)。 当 \( 1 < z \leq 2 \)：积分区间为 \( y \in [ z-1, 1] \)，得 \( f_ Z(z) = 2 - z \)。 其他情况为 0。 最终 \( Z \) 服从三角分布。 7. 推广与注意事项 卷积可推广到多个独立随机变量之和（递归使用）。 若变量不独立，需用联合 PDF 代替乘积，但无简洁公式。 卷积在信号处理、图像处理等领域也有广泛应用。 通过以上步骤，你可以理解卷积公式的由来、推导过程及其应用场景。